＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
第11章 纠错编码
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
本章目录
11.1 编码信息传输模型 11.2 无差错信息传输原理 11.3 纠错编码与译码基本原理 11.4 线性分组码 11.5 线性循环码 11.6 二元线性卷积码
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
本章内容要点
（1） 纠错编码传输模型，信道编码定理，香农限以及编
码增益；
（2） 码的基本参量，基本编码方法，译码模式和纠错码
的应用方式；
（3） 典型码例，伴随式、标准阵列、比特翻转译码方法； （4） 循环码，BCH码和RS码；
（5） 卷积码，维特比译码，Turbo码。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
11.1 编码信息传输模型
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
信息的表述
? 在概率意义上，信息是随机事件，消息是其样本，信息
量是样本空间的概率度量。 ? 在数据结构上，样本表述为消息码元ui??0,1?组成的
数据分组u??u0,,uk?1?。
任何信息总可以表述为二元随机序列或随机向量 ? 当ui的概率分布为均匀分布，则一个ui具有一个比特
信息（信息量单位比特）。
? 任何二元数据串或向量的一个分量称为一个比特数据（数据个数单位比特）。
冗余编码（Coding）与调制（Modulation）
? 编码（与调制）：数据分组到信号的转换，
u?(u0,,uk?1)?x(t) 或
u?(u0,,uk?1)?x?(x0,,xn?1)
? 码字（Codeword）：与离散信号x?(x0,,xn?1)的一对
一数据向量c?(c0,,cn?1)，ci称为编码码元，简称
码元（Code Symbol）。
? 冗余性：n?k
4-1
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
无误差信息传输的基本途径
图11.1.1 编码在信息传输、数据传输与信号传输中作用 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
常规通信信号基带传输模型
y?hx?z
?
常为参数?的瑞利（Rayleigh）h是等效幅度衰落系数，
分布随机变量，均值????2，方差
?2??2(2??2)。
?
z是等效叠加噪声值，常为均值??0、方差
?2?N02的正态或高斯（Gaussian）分布随机变量。
? 在时间与频谱特性上，z?z(t)为白噪声过程，功率谱
密度值为N02(WHz)，故称相应信道为AWGN信道（加性白高斯噪声，Additive White Gaussian Noise）。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
B-AWGN信道及信噪比
? 信道描述：输入/传输/输出分别为
BPSK信号（幅度）x???A,?A?；h?1，z白噪声；
y?x?z????,???
? 传输符号差错概率Psymb(e)：对相干硬判决解调，
P(?A)?P(?A)?12，能量E??Psymb(e)?PBPSK(e)?Q由带宽B?1T得到
t?Tx2(t)dt?A2T，
?2EN0
?? 信噪比?SN?：信号平均功率与噪声平均功率之比，
?SN??E?ET?P??2，N0?BN0???SN?(dB)?10?log10?SN?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
11-2
随机差错与突发差错
? 传输差错：在传输符号层次上，编码信道抽象为符号的
概率转移过程，总有差错。 ? 随机差错（Random Error）：符号差错在传输符号序列
中均匀分布。 通常认为单纯AWGN信道上的差错是随机差错。随机差错的一个必要条件是信道无记忆性或有独立性。 ? 突发差错（Burst Error）：符号差错在传输符号序列中有
局部高密度分布（如Ps(e)?0.05）。 瑞利衰落总会导致突发差错。不同突发密度区间的最大长度b称为突发长度。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
无记忆二元对称信道模型BSC(p)（1/2）
? BSC（Binary Symmetric Channel）是最简单的硬判决随
机差错模型，信道输入c，输出v，干扰e ? 对BPSK调制和相干解调，p?PBPSK(e)称为BSC的
信道转移概率 ? BSC图形模型 0 p1?p 0 码元c
p符号v 1 1?p 1 图11.1.2 BSC图形模型 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
无记忆二元对称信道模型BSC(p)（2/2）
? BSC代数与概率模型
???v?c?e Mod 2?, P?e?0??1?p ?P?e?1??p模二（Mod 2）加算术运算规则：0?1?1?0?1，0?0?1?1?0
? 差错图案（Error Pattern）：e?(e0,e1,,en?1)，ei?0当且仅当传输分组中的第i位符号差错。
纠错编码传输特征（1/2）
? 逻辑上，纠错编码传输的单位是分组或向量或码字，而
不是符号或比特。
图11.1.4 编码信道的分组传输模型
? 物理上，对于时间顺序上逐个符号调制与传输，纠错编
码传输在物理实现上是逐个符号或波形的传输。 ? 基本分析上，不考虑任何处理延时和信道传输时延。
4-3
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错编码传输特征（2/2） 记消息比特持续时间Tb?T，带宽B?1Tb，发送比特能量Et?E，有：
? 总有n?k，且比值kn称为传输码率。 ? 数据传输时延为2kTb。
? 消息传输总时不变，则传输信号带宽Bt?BRc。 ? 消息传输总能量不变，则比特传输能量Eb?EtRc。 ? 消息传输总时和总能均不变，则有无编码的传输功率不
变，即Pt?EtTt?(RcEb)(RcTb)?Pb。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
BSC(p)的常见概率计算
对于p?12以及n比特的分组：
n（1） 恰有t错概率：PWet;p,n?tp?1?p?????tn?t
（2） 平均错数：t?npj1?pn?j?np j???jj?0n??信道平均差错率p0?tn?p。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ （3） 错数方差：
n??E??t?t?2t?2????j?t?j?0?2?n?jn?jp1?p???? ?j? ?np?1?p?（4） 差错数越少的图案出现概率越大，
?1?p?n?p?1?p?n?1??pt?1?p?n?t??pn
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
分组编码与分组码
? 分组编码（映射）：c0,c1,逻辑整体c?(c0,c1,?
,cn?1以某种约束关系而成
,cn?1)，并称为码字，ci为码元。
q元?n,M?分组码（Block Code）C或C?n,M?： M个相同约束关系的码字且ci?A(符号集)，n称为码长
?
q元?n,k?分组码C?n,k?：logqM?k且为整数，称
为消息（位）长，r?n?k称为校验（位）长。
? 编码码率Rc（Code Rate，码率）：平均每个码元等效传
输的消息符号数，Rc?logqMn
例11.1 二元n-重复码
? 构造方法：每个码字的码元都是同一个码元的n?1次
11-4
重复。
? 3-重复码例：在长为3的8个不同二元向量中选择向量
集合?(000),(111)?构成的?n,k???3,1?分组码，并有：
Rkc??log22?n?kn?13， r?n?k?n?1?2
? 编码与调制对应：用3-重复码和BPSK调制传输1个比特消息数据的对应关系为，
数据?0?码字?(000)?信号向量?X(t)?(?A,?A,?A)数据1?????码字?(111)???信号向量?X(t)?(?A,?A,?A)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.2 四元重复码
? 构造：四元2-重复码C??(00),(11),(22),(33)?是一个
?n,M???2,4?
Rc?logqMn??log44?2?12，r?n?k?2?1?1
? 码率：四元2-重复码的每个码元平均传输的消息比特数
为Rclog2q??12?log24?1比特，一个码字传输的消息比特数为log2M?2比特。
? 直接调制：由于log2q?2比特，所以四元码的逐个符
号调制是四元调制，如QPSK。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.3 二元mn等比码
? 构造：5元组中恒定有3个分量为1；二元mn?35等
比码有?n,M???5,10?；
C??(00111),(01110),(11100),(11001),(10011)(10101),(01011),(10110),(01101),(11010)?
? 常用于传输10进制数字符号，码率为????
logn5RlogqM2mlog23log210c?n?n?5?5?0.6644
? 由于k?log2?53?不是整数值，所以不存在整数值的消
息位长和冗余位长。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
11.2 无差错信息传输原理
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
信道容量
? 信道容量C：信道上符号信息传输的最大速率（计量单
位为比特/符号）。
BSC(p) ：
4-5