? 纠错码设计第二目标（传信率最大）：给定n和d， M?M?maxM(l)d?C(l)??dmin?最大，即?
(l)(l)(l)C??c0,,cn?1?, l?1,2,??? 最优码（Optimal Code）：给定n和d，M最大。
????? 球填充问题：n维空间中填充最多个半径为
t????(d?1)2?的互不交叠的汉明球。
? 汉明限（Hamming Bound）：
M?Vq(n,t)?qn,
qn?kn?ki????i?(q?1)，M?q
i?0?t?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错码设计第二目标（2/2）
? 完备码（Perfect Code）：达到汉明限的码。 ? 完备码的码结构效率最高，且有两个重要特性：
（1）d为奇数，即d?2t?1；
（2）达到汉明限，即M?V(n,t)?qn。
? 全部完备码是：汉明码；二元或三元葛莱码（Golay
Codes）；奇数码长重复码。 例11.9 二元５-重复码。
C??c0?(00000),c1?(11111)?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.10 传输2比特信息的几种码构造（1/4） （1）随机选择(n,k)?(4,2)码
C??(0001),(0011),(1011),(0010)?
?:??(00)?(0001),(01)?(0011),
(10)?(1011),(11)?(0010)?Rc?kn?2/4?0.5，r?n?k?4?2?2，d?1
（2）每两位消息比特重复一次
C?{(0000),(0101),(1010),(1111)}
?:(00)?(0000),(01)?(0101),
(10)?(1010),(11)?(1111)?Rc?kn?2/4?0.5，r?n?k?4?2?2，d?2 传输2比特信息的几种码构造（2/4）
（3）选择４个（恰仅有４个）重量等于３的４元组（获得一个3/4等比码）
C??(0111),(1110),(1101),(1011)?
?:?(00)?(0111),(01)?(1110),
(10)?(1101),(11)?(1011)?Rc?kn?2/4?0.5，r?n?k?4?2?2，d?2
11-16
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传输2比特信息的几种码构造（3/4） （4）四元(n,k)?(4,1)4-重复码
C??(0000),(1111),(2222),(3333)?
?:?(0)?(0000),(1)?(1111),(2)?(2222),(3)?(3333)?
Rc?(logqM)/n?(log44)/4?1/4?0.25，
k?logqM?log44?1
r?n?k?4?1?3， d?4
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
传输2比特信息的几种码构造（4/4）
（5）一种三元码选择
C??(0000),(0011),(1100),(2222)?
?:?(0)?(0000),(1)?(0011),(2)?(1100),(3)?(2222)?
Rc?(logqM)/n?(log34)/4?0.3155， d?4
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
检错译码的基本原理
? 检错译码：利用码的结构特性判断接收向量是否是码
字。 ? 实现检错译码前提：发收具有完全相同码C。 ? 检错译码适用于硬判决信道，即DMC信道。 ? 检错译码基本准则：v?C，则判断存在传输差错。 ? 检错码：专用于检错的纠错码。
? 检错码设计目标：不可检差错概率PUD(e)最小，即使
所有最可能出现的差错图案e均不能导致任意码字
c?c??e。
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检错译码的基本方法（1/3）
例11.11 n-重复码用于检错时的全0/1判断法。
表11.3.1 3-重复码检错译码操作表
00无0 错 001 000 有01？ 错 0 ？ 有01？ 错 1 ？ 有10？ 错 0 ？ 有10111 错 有1 错 11有
4-17
0 111 错 无错 记接收向量为v?A，利用全0/1判决方法对n-重复码的一般性检错方法为：若0?wH(v)?n，则有错；否则无错。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
n检错译码的基本方法（2/3） 例11.12 二元偶或奇校验法
? 偶校验编码：k长消息组扩展为n?k?1长的码组，总
使码组中1码元的个数为偶数或零，新增码元为偶校验位。 ? 偶校验码结构参数：
n?k?1， r?1， Rc?k?k?1?， d?2
? [4,3]偶校验码见表11.3.2所示。
表11.3.2 [4,3]偶校验码编码表
消息u 000 001 010 011 100 101 110 111 d?2码字c 0000 0011 0101 0110 1001 1010 1100 1111 u ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
检错译码的基本方法（3/3）
? 偶校验码的检错译码方法：若接收分组中1的个数为偶数或零（称偶校验有效），则认为该码字传输无错，否则有错，即
若wH(v)?偶数或零，则无错；否则有错。
? 偶校验码的偶校验是否有效方法对所有奇数个码元的
差错检测做出正确判断。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码的基本原理
? 纠错译码：利用码的结构特性，首先判断接收向量中传
输差错符号的位置，然后计算差错符号的差错值，最后修正差错符号。 ? 实现纠错译码前提之一：发送方和接收方具有完全相同
的码C。 ? 实现纠错译码前提之二：差错图案重量越小其出现概率
越大。 ? 纠错译码既适用于硬判决信道，也适用于软判决信道。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码的基本方法（1/4） 例11.13 择多判决法
? 择多判决法适用于对重复码的纠错译码。
11-18
? 一个分组中两个比特错误的概率小于一个比特错误的
概率；3-重复码的纠错操作见表11.3.3和图11.3.1。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
表11.3.3 3-重复码纠错译码操作表
u c v c? u? 译码状态 000 0 000 000 000 0 正确译码 0 000 001 000 0 正确译码 0 000 010 111 0 正确译码 0 000 011 000 1 错误译码 1 111 100 110 错误译码 1 111 101 1 1 正确译码 1 111 110 111 1 111 111 1 111 正确译码 正确译码 1 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码的基本方法（2/4）
图11.3.1 纠1位差错的3-重复码
纠错译码的基本方法（3/4）
? n-重复码的择大判决译码操作以汉明重量检测描述为：
??wH(v)?n2?u??0?wH(v)?n2?u??1 ??wH(v)?n2?u???? n-重复码的译码操作以汉明距离描述为：
??dH(v,c0)?dH(v,c1) ? u??c0?dH(v,c0)?dH(v,c1) ? u??c?1 ?dH(v,c0)?dH(v,c1) ? u???＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码的基本方法（4/4）
例11.14 阵列偶校验法
? 二维[9,4]偶校验阵列码：Rc?4/9?0.444
4-19
?m00c??m10?p?20m01m11p21p02?p12? p22??p02,p12分别是第1，2行的偶校验码元，p20,p21分别是第
1，2列的偶校验码元，p22是第3行或第3列的偶校验码元。
? 任意1位错误一定在某特定行和某特定列上同时导致
偶校验失效，从而由二维坐标体系确定此码元错误位置。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码模式（1/5）
? 译码模式或译码器工作模式：译码器对接收分组v进行
纠检错的处理方式。 ? 译码模式分检错、纠错和混合纠检错三类。 （1）检错模式
对任意v只并给出有无传输差错的标志s或者输出z?(v,s)，其中
?0,v?C（无差错） s??(v)??1,v?C(有差错)?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码模式（2/5）
（2）纠错模式
?，即z?c???(v)?C。 ? 对任意v总输出码字z?c??c；译码错误指c??c。 ? 译码正确指c? 最小距离纠错译码准则，
dH(ci,v)?dH(cj,v)i?j??ci ?c＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码模式（3/5）
（3）混合纠检错模式或限定距离译码模式
?或者输出预设向量? 对任意v或者输出码字z?cz?v或输出z?(v,s)?(v,1)，即对于某个预定的不可译
向量集合B?V，
?,v?V?B, c??C?c z??(v)??v,v?B?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错译码模式（4/5）
? 译码成功指?(v)?C；译码成功中，译码正确指??c，译码错误指c??c。 c? 译码失败指?(v)?C。
? 限定距离te?tc????d?1?2??的最小距离混合纠检错译码准则为，
11-20