??Eb???loge2?1.089?N?(0.37dB) 0?min,BPSK2＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
B-AWGN-BPSK＋理想软判决信道的香农限（1/2）
Rc?CB-AWGN?????1?1exp??y?RE?2cb???? ???N0?N0?? log???1?exp??4RcEb?y??2?????N0????dy?其中A?E?RcEb。
B-AWGN信道?m??EbN0?min与Rc之间的数值关系，见表11.2.2。
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B-AWGN-BPSK＋理想软判决信道的香农限（2/2）
表11.2.2 B-AWGN的?m??EbN0?min(dB)
Rc 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 ?m -1.55 -1.44 -1.29 -1.13 -0.96 -0.79 -0.62 -0.43 -0.24 -0.03 Rc 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 ?m 0.19 0.42 0.68 0.96 1.28 1.63 2.05 2.54 3.21 4.18 例11.6 n-重复码的效率分析（1/5）
分析条件：信源均匀分布，B-AWGN-BPSK传输。 ? 能量开销分析：有无编码的平均消息比特能量相等
Ebu?Ebc?E, Etu?E和Etc?RcE
?
Pb(e)和?EbN0?分析：
? 无编码Pb(e)和?EbN0?：
??Pbu(e)?Q?2?EN0?????Eb??EN0? ???N??0?uCBSC?Pbu(e)?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.6 n-重复码的效率分析（2/5）
? 有编码Pb(e)和?EbN0?：
4-11
n?npj1?pn?jP(e)????bc?jj??n2??1???E? ??b???EN0???N0?cCBSC?Pbc(e)????p?Ps(e)?Q2Rc?EN0?????CBSC?Pb(e)??1?1?Pb(e)logePb(e)loge2
??1?Pb(e)?loge?1?Pb(e)???＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.6 n-重复码的效率分析（3/5）
? 计算实例：表11.2.3 BPSK传输n-重复码的差错特性
?E? ?N??0?差错特性 无编码 3-重复码 5-重复码 ?Et0.1 (-10dB) N0? 0.100 0.033 0.020 （-10dB） （-14.77 dB） （-16.99 dB） Ps(e) Pb(e) Q?0.2? Q0.213 Q0.215 ?0.326?0.397?0.4210.326 0.085 0.348 0.068 0.354 0.062 1.613 （2.08dB） ????CBSC?Pb(e)? ?EbN0? 1.176 1.471 （0.71dB） （1.67dB） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.6 n-重复码的效率分析（4/5）
表11.2.3 BPSK传输n-重复码的差错特性（续）
?Et8 （9dB） N0? 8.00 2.67 1.60 （9.03dB） （4.26dB） （2.04dB） 0.000032 0.000032 0.999476 0.0011 0.0000036 0.9999297 0.037 0.0004788 0.9940291 Ps(e) Pb(e) CBSC?Pb(e)? ?EbN0? 8.0042 8.0006 8.0481 （9.033dB） （9.031dB） （9.057 dB） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例11.6 n-重复码的效率分析（5/5）
（1） 传输比特能量可小于香农限，但等价?EbN0?总大于
香农限。例如
?EN0???10dB??EbN0??0.71dB-10dB
（2） 不恰当的编码反会导致性能恶化。例如
5-重复码性能劣于无编码性能，?EN0??9dB 3-重复码性能优于无编码性能，?EN0??9dB （3） 纠错码需在信噪比大于译码阈值时显现性能改善特
11-12
性。不同的纠错码存在不同的译码门限值。 （4） 单纯增加重复码码长不能改善性能。
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例11.7 Turbo码和低密度校验码LDPC码
由C. Berrou等人于1993年提出的一种8状态13码率码长为5000的Turbo码在采用8至10次迭代译码的条件下，
可以在?E?7bN0??0dB时实现Pb(e)?10，而13码率的
香农限为-0.51dB。
Sae-Young Chung等四人在2001年发现并计算机仿真验证了一种码率12的LDPC码在码长达到107时，实现
P)?10?6b(e，?EbN0?离香农限仅有
0.0045dB。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
编码增益
编码增益是相同Pb(e)时，两个信息传输系统的
?EbN0?的比值Gc
Gc??EbN0?B?EbN0?A
Gc(dB)?10log10Gc??EbN0?B(dB)??EbN0?A(dB)
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能量差错概率平面（1/3） ? ?EbN0?与Pb(e)所确定的二维平面。
? 信息比特谱效率以及香农限不能有效分析容忍一定差
错时的极限特性。 ? 分析系统实际?EbN0?至香农限的距离更有意义。 ? Ps(e)具有“瀑布”曲线规律，如图11.2.2所示。 ?
Pb(e)应当与Ps(e)有单调关系，存在常数A,B使得Pb(e)满足，
P?AQ??E?Bb?b(e)?N?0?
?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
能量差错概率平面（2/3）
4-13
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能量差错概率平面（3/3）
（1）编码系统由于编码后等效的码元符号能量降低而存在
门限现象。门限值取决于码的结构和具体的译码方式，但一定大于相应码率的香农限?m。
comp（2）在不同的比较参照点P(e)，相应的编码增益Gc不b同。通常Gc指渐进编码增益Gac，即Gac是
compP(e)?0即?1时的编码增益，对于码率为bRc、最小码距为d的分组码有
Gac?10log10?Rcd?
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典型编码系统编码增益
编 码 技 术 理想编码 分组:RcGc@Pb(e)?10?5 Gc@Pb(e)?10?8 11.2 3.0－4.0 5.0－6.0 4.0－5.5 6.5－7.5 9.0－10.0 ～11.1 13.6 4.5－5.5 6.5－7.5 5.0－6.5 8.5－9.5 12.0－13.0 ～13.6 ?12,d?0.3n,硬判 分组:Rc?12,d?0.3n,软判 卷积:Rc?12,K＝7,软判VA 级联:RS(255,233)硬判决 ＋卷积码(2,1,7),软判VA Turbo码:Rc?13,8状态, n?5000, MAP,6－8次 随机LDPC码:Rc?12, n?107,BP，60－80次 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
11.3 纠错编码与译码基本原理
纠错码基本结构特征
? 汉明重量（Hamming Weight）wH(a)：若存在可定义
为0的零码元，则
11-14
wH(a)??1
ai?0? 汉明距离（Hamming Distance）dH(a,b)：
dH(a,b)??1, a??a0,,an?1?,b??bn0,,bn?1??A
ai?bi＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ? 最小码距（Minimum Code Distance）dmin：
dmin?min?dH(c,c?)?c,c??C?
具有最小码距d?dmin的[n,M]或?n,k?分组码记为
[n,M,d]或?n,k,d?分组码。
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纠错码基本结构特征间的简单关系
? 符号集A上的加法与减法推广到向量的加法和减法
a?b??a0?b0,,an?1?bn?1?，
a?b??a0?b0,,an?1?bn?1?
? 因ai?bi必然使a?b的汉明重量加1，从而
dH(a,b)?wH(a?b)
? 记全零向量为θ?(0,0,,0)，并有a?0?a以及在
a?0时0?a?0，则
wH(a)?dH?a,θ?
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例11.8 汉明距离和汉明重量计算例
dH((00001111),(11001100))??1?4
ai?bidH((01021121),(12021011))??4
a?1i?biwH?(10100101)??dH?(10100101),(00000000)??4
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纠错码设计第一目标
? 纠错码设计第一目标（纠错力最大）：给定n和M，
d?d?C?最大，即
??d?maxd?C(l)? C(l)?min?M?(l)??(?? ?C??cl)(l)0,,cn?1?, l?1,2,? 辛格里顿限（Singleton Bound）：d?n?k?1
? 最大距离可分码（MDS Code, Maximum Distance
Separable Code）：达到辛格里顿限的码，如RS（Reed-Solomon）码。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
纠错码设计第二目标（1/2）
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