统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24．（9分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm． （1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
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考点：一 元二次方程的应用 分析：（ 1）根据题目所给的函数解析式把t=4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可； （3）根据图可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 解答：解 ：（1）当t=4s时， l=t+t=8+6=14（cm）， 答：甲运动4s后的路程是14cm； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm， 甲走过的路程为t+t，乙走过的路程为4t， 则t+t+4t=21， 解得：t=3或t=﹣14（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s； （3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm， 则t+t+4t=63， 解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s． 点评：本 题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆，第二次相遇时二者走的总路程为三个半圆，本题难度一般． 2222
25．（12分）如图，直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小；
（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；
（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．
考点：一 次函数综合题 分析：（ 1）求得B、C的坐标，在直角△BOC中，利用三角函数即可求解； （2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆⊙Q，⊙Q与直线BC的两个交点，即为所求； （3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个．如答图2所示． 解答： ：解（1）在y=﹣x+2中，令x=0，得y=2； 令y=0，得x=2， ∴C（0，2），B（2，0）， ∴OC=2，OB=2． tan∠ABC===， ∴∠ABC=60°． （2）如答图1所示，连接AC． 由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4． 又∵AB=4，∴AB=BC， ∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4． 取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2． ∵QP1=2，QO=2，∴点P1与点C重合，且⊙Q经过点O． ∴P1（0，2）． ∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形． ∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°， 由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P1、P2符合条件． ∵QC=QP2，∠ACB=60°，∴△P2QC为等边三角形．∴P2C=QP=2，∴点P2为BC的中点． ∵B（2，0），C（0，2），∴P2（1，）． 综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）． （3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个． 如答图2所示， 以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称． ∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°， ∴点P的个数情况如下： ①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切； ②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交； ③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交；直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交； ④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点． 点评：本 题是代数几何综合题，考查了坐标平面内直线与圆的位置关系．难点在于第（3）问，所涉及的情形较多，容易遗漏． 26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F； （1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G； ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明
=
；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：
=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
），探索2PO+PM的最小值．
（3）在（2）中，若点M（2，
考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度． （2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得EF∥AB，得．所以； ；由②由OP=OH，则问题转化为证明=．根据①中的结论，易得=，故问题得证． （3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决．如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8． 解答：（ 1）解：解法一：在正方形OABC中， ∠FOE=∠BOA=∠COA=45°． ∵EF∥AB， ∴∠FEO=∠BAO=90°， ∴∠EFO=∠FOE=45°， 又E（﹣2，0）， ∴EF=EO=2． 解法二：∵A（﹣6，0），C（0，6），E（﹣2，0）， ∴OA=AB=6，EO=2， ∵EF∥AB， ∴，即， ∴EF=6×=2． （2）①画图，如答图1所示： 证明：∵四边形OABC是正方形， ∴OH∥BC， ∴△OFH∽△BFG， ∴； ∵EF∥AB， ∴∴； ．