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第六讲：三角形
知识梳理
知识点1. 三角形的定义
三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 知识点2.三角形的分类 重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分 （1） 按角分类
(2) 按边分类
等腰三角形 等边三角形 三角形 不等边三角形 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 底边和腰不相等的等腰三角例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案B
练习：如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝60，填空：
（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形；
（2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形；
O0
[来源:Zxxk.Com]
a600APN第4题图 新课标第一网----免费课件、教案、试题下载
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（3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形。 答案：（1）a；（2）2a或
aaa；（3）＜OP＜2a；（4）0＜OP＜或OP＞2a 222知识点3.三角形三条重要线段 重点：掌握三角形三条重要线段的概念 难点：三角形三条重要线段的运用
三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。
例1、在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ ）
A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19
解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选D 例2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D， ∠ADC=130°，求∠BAC的度数．
解题思路：因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE⊥BC(三线合一) 因为∠ADC=130°，所以∠CDE=50°， 所以∠DCE=40°，
因为CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCE=80°， 所以∠B=∠ACB=80°，∠BAC=180°-∠B+∠ACB=20°
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练习
1、如图，在△ABC中，∠A＝96，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是多少？
[来源:Zxxk.Com]0
A
A1A2
BCD3题图 DB＝ 。
D0
2、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则
C答案1、3 2、8cm
AEB
知识点4. 三角形的主要性质 重点：三角形的三边关系及外角的性质 难点：三角形的主要性质的灵活运用
7题图 (1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边． (2)三角形的三个内角之和等于360
(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和． (4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．
例1．已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a?b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（ ）
A、3a?L?3b B、2(a?b)?L?2a C、2a6?b?L?2b?a D、3a?b?L?a?2b
解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B
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[来源:学科网ZXXK]0
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例2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45，∠ACB＝61，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。
解题思路：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。
略解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝
[来源:学§科§网]00
A
DBCE例2图 11∠ABC，∠E＝∠ACB 2210
∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝53
2 ∴∠DAE＝180－（∠D＋∠E）＝127
练习1.若△ABC的三边分别为a、b、c，要使整式(a?b?c)(a?b?c)m?0，则整数m应为 。
2.纸片△ABC中，∠A＝65，∠B＝75，将纸片的一角折叠，使 点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20，则∠2的度数为 。
2B0
0
0
0
0
A1C3.在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ） 8题图 A、30 B、36 C、45 D、72 答案1. 偶数2. 60 3.B 知识点5. 全等三角形 重点：全等三角形的判定
难点：根据不同条件来判断三角形的全等 1．定义
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2．性质
两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．判定公理
(1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”)
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有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”) 有三边对应相等的两个三角形全等．
(4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”)
[来源:学科网ZXXK]
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”) 有斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形题型例析 一、选择条件型
例1 如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝
DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC．．
与△DEF全等的是（ ）
Ａ．（1）（5）（2） Ｃ．（4）（6）（1）
Ｂ．（1）（2）（3） Ｄ．（2）（3）（4）
解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（Ｄ）不能判断△ABC与△．．
DEF全等．
二、补充条件型
例2 如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△
A D
DCO，请你补充条件_____________（只要填写一个你认为合适的条件）．
解题思路：由AB=DC以及图形隐含的对顶角相等：∠AOB=∠DOCO B C
可知，要使△ABO≌△DCO，根据（AAS）识别法，直接可补充∠A=∠D或∠ABO＝∠DCO．间接可补充：AC＝DB．
评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点．在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件． 三、结论选择型
例3．如图．∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论： ①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
其中正确的结论是 ．
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