第八章 解析几何综述
第一节 基本问题
解析几何的基本问题是什么？解析几何就是用代数的方法来研究几何图形的性质。所以，解析几何所要研究的基本问题是给定曲线，通过坐标系建立他的方程，然后通过对方程的讨论，研究曲线的性质。
建立曲线的方程，这只是问题的一方面。另一方面是在给定的坐标系下，适合所给方程
F?x,y??0的一对数?x,y?就确定平面内的一点，而它们的全体一般就构成了平面内的一
条曲线；即所谓的方程F?x,y??0的曲线，给定方程F?x,y??0 ，描绘它的曲线，是解析几何的另一个基本问题。
第二节 曲线与方程
我们利用平面直角坐标系，建立了平面上的点与有序数对?x,y?的“1―1”，一条曲线可以看着是具有某种性质的点的轨迹。例如圆是与一定点距离等远的轨迹等等。把一条曲线放置在坐标系内来考察，由于曲线上的点完全被它的坐标所决定，因而曲线上所有的点的共性可用某一个二元方程F?x,y??0来表示。
一般的，曲线方程的确切定义：
在给定的坐标系下，若⑴曲线C上所有点的坐标都适合某一个二元方程F?x,y??0； ⑵坐标适合方程F?x,y??0的点都在曲线C上。
则称 方程F?x,y??0 为曲线C的方程；曲线C为方程F?x,y??0的曲线。 实际上条件⑴⑵及时平面几何中所讲的轨迹的完备性和纯粹性。条件⑴表明；条件⑵表明方程F?x,y??0不F?x,y??0包含曲线c上所有的点，没有遗漏（完备性）
包含曲线c以外的点，没有渗杂（纯粹性）；只有具备了这两个条件的方程F?x,y??0才称为曲线C的方程；曲线C为方程F?x,y??0的曲线。如：圆心在原点，半径为1的圆上所有点的坐标都适合方程x?y?1?3x?4y?12?=0，但是坐标都适合方程的点，并不都在
22??圆上，所有方程不是所给圆的方程。
例题1：始于原点且与x轴正半轴夹角为锐角?的射线上有一动点P（在第一像限），在x 轴正半轴上有一点Q，且?POQ的面积为定值4，求线段PQ中点M的轨迹方程。 分析与解：设P?x1,x1tan??,Q?x2,0?,M?x,y?；
18xxtan??4,则x? 由已知 ， 1222x1tan?x1?x2x12tan??8 那么 x?， ?22x1tan? y?2y1?y2x1tan?，消去x1可以得： ?22 y?tan??xy?2tan??x?0?，即为M的轨迹方程。
指出：很多同学会忘记在方程后面加上x>0这个条件，那么所求方程就不是我们需要的了。 另外如果将题设改变：M为线段PQ上的点，且PM∶MQ=a，你还能不能求出点 M的轨迹方程？
例题2：已知?ABC的三边BC、CA、AB成等差数列且C（-1，0），A（1，0），求顶点B 的轨迹方程。
分析与解：由题意知CA=2，则BC+AB=4，
则由椭要定义知：c=1,a=2?b?3,
2x2y2 故所求方程为：（2,0）两点）。 ??1 （不包括（-2，0）
43例题3：点P到定点（1,0）和定直线x=3的距离和等于4，求P点 的轨迹方程。 分析与解：设P（x,y）则由题意有：
2?x?1?2?y2?4?x?3，
??12x?49?x?3? 化简得 y??。
??4x?1x?3?
第三节 基本公式
一、有向线段数量运算公式
例题1：设A、B、C、D是同一直线上的四点，求证无论它们的位置关系如何，总有以下关 系AB+BC+CD+DA=0.
分析与证明：设四点的坐标分别为xA，xB，xC和xD；则
AB+BC+CD+DA=（xB-xA）+（xC-xB）+（xD-xC）+（xA-xD）=0. 例题2：设A、B、C、D是同一直线上的四点，求证：DA·BC+DB·CA+DC·AB=0. 分析与证明：设四点的坐标分别为xA，xB，xC和xD；则 DA·BC+DB·CA+DC·AB
=（xA-xD）（xC-xB）+（xB-xD）（xC-xA）+（xC-xD）（xB-xA）=0.
二、定比分点公式
例题1：已知同在一条直线上的三点A（-3,3）B（3,1）和C（6,0）求点D（x,y）使
ADAB. ??DCBCAB?6?6?AD分析与解：设??,则由公式有3????2；于是??2,
BC1??DC?3???2??63???2??0 D点的坐标 x?=15，y?=-3；
1?21?2
故所求 D点的坐标为 D（15，-3）.
例题2：设M为圆?x?3???y?2??1上任意一点，连接MO并延长到P，使MO·OP=b，
22 求P点的轨迹方程。
分析与解：我们把原点看成分点，利用相关点法就可以解决问题。 设M?x1,y1?,P?x,y?，则??MOMO?OPb， ??222OPOPx?ybxbyy?1x2?y2x2?y2?0,?0?x1=-bx,y1=-by； 于是
bbx2?y2x2?y21?21?x?y2x2?y2x1? 带入圆方程得P点的轨迹方程12x?12y?6bx?4by?b?0.
例题3：如图，由抛物线y?x?2上任意点A向直线y?2x作垂线，垂足为B，延长AB 到P,使点B分AP出4∶1，当A在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程。
分析与解：
2222
设A（x1,y1）B（a,b）P（x,y）且由AB∶BP=4∶1知
x1?4xy?4y,b?1； 55x?4xy?4y1? 因为B在y?2x上，所以21?4y?y1?8x?x1 ⑴ 55 a? 又kAP??1y?y1??2y?2y1??x?x1 ⑵ 2x?x1 由⑴ ⑵可得 x1?2y?3x,y1?2x；
带入抛物线方程得P的轨迹方程为y?2x?
三、两点间距离公式 例题1：求证：对任意实数x1,x2,y1,y2都有：
22x?1。 3?x1?x2?2??y1?y2?222。 ?x12?y12?x2?y2分析与解：如果看成代数式则比较复杂，但是联想得距离公式和三角形三边则简单。 指出：当将x1,x2,y1,y2换成a、b、c、d后，即 则容易发生导向错误。
例题2：A（-3，3），B（5,1）在x轴上求p1使PA1?PB1最小，P2使PA2?P2B最大。 分析与解：
?a?b?2??c?d?2 ?a2?c2?b2?d2，
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/
⑴设A点关于x轴的对称点为A,连接AB交x轴于p1，则p1为所求。 事实上：对x轴上任意一点Q不与p1重合，
有QA?QB?QA?QB?AB?P1A?P1B?P1A?P1B; 又A（-3，-3）则AB的直线方程为y?3? 求得与x轴交点为p1（3,0）. ⑵设AB交x轴于P2，则P2为所求。 事实上：AQ?QB?AB?P2A?P2B; 仿⑴有P2（9,0）.
说明：数形结合有助于解题能力的提高，因此我们要特别注意理解每一个代数式所包含的几
/
////1?x?3?， 2 何意义。
四、斜率公式
例题1：过抛物线y?20x内部一点p（2,5）作弦AB，使得、P为AB中点，求直线AB 的方程。
分析与解：设A（x1 ,y1）,B（x2, y2）带入y?20x两式相减有：
（y1+y2）（y1-y2）=20（x1-x2） 即10（y1-y2）=20（x1-x2）， 所以有K=2，则直线方程为y-5=2（x-2）, 故所求直线方程为 2x-y+1=0.
五、两条直线的夹角公式 例题1：设直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转
22?4，求所得直线的方程。
分析与解：我们知道已知直线的斜率为2，与x轴的交点为（2,0）， 设所求直线的斜率为K,则有：
K?2?1?K??3,
1?2K 那么所求直线的为y=-3（x-2） 即3x+y-6=0.
例题2：已知点A（0,4）B（4,0）C（6,0）以及过点C的直线L，光线从A点出发射向B 点，经过x轴反射射向直线L，又经过L反射后回到A点，求直线L的方程。
分析与解： 设所求直线的斜率为K,D（x0，y0）， 则L：y=Kx-6K 那么有y0=Kx0-6K ⑴ 又?OAB??YAD 知KAD=1= 由⑴ ⑵?x0? 又知KBD?
y0?y0?x0?4 ⑵ x0?46K?42K,y0?; K?1K?1y0?4且?BDC??ADC, x0