y0?4?Kx0K?1 所以,将x0,y0带入?K??5， ?y0?41?KK?1x0 故所求直线L的方程为y=-5x+30.
六、平行、垂直的充要条件
例题1：设A（4,1）关于直线L 3x-y-1=0的对称点为A，求A的坐标。 分析与解：设A
/
/
/
?x0,y0?则A/A?L，那么y0?1??1，⑴
x0?43/
且AA中点为?x0?4y0?1?x0?4y0?1?在直线L上，即有3??1?0⑵ ,?222??2 由⑴ ⑵?x0??2,y0?3.
指出：若将点A换成有心曲线，能否顺利完成，回答是肯定的。
例题2：求经过L1：2x+3y-5=0与L2：7x+15y+1=0的交点且与L3：12x-5y-1=0垂直的直线 方程。
分析与解：我们采用直线系方程更简单。
设过交点的直线系方程为 2x+3y-5+?（7x+15y+1）=0，
?7??212，又直线L3的斜率是，
15??35?7??25 所以=????1，
15??312 其斜率为
故所求直线方程为 2x+3y-5-（7x+15y+1）=0，即5x+12y+6=0.
七、点到直线的距离公式 例题1：当m为何值时，平面上三点A（1，2）、B（3，1）、C（2，3）到直线y=mx距离 的平方和为最小？
分析与解：由公式知其平方和为
2222??????m?2?3m?1?2m?3 s?即?14?s?m?22m??14?s??0，
m2?1 当s?14时，m为实数，则??0； 11??14?s??0?3?s?25，
22 将s=3带入上面式子有m=1，故smin=3.
例题2：求两条直线L1：x+y-2=0,L2：7x-y+4=0的夹角的平分线的方程。 分析与解：设P（x,y）为平分线上任意一点， 则有
x?y?22?7x?y?452即5?x?y?2????7x?y?4?，
故所求直线方程为6x+2y-3=0或x-3y+7=0.
例题3：若y?4?x与y=3x的交点为A、B，点P?x0,y0?在抛物线上且由A到B运动；
2 ⑴求当PAB面积最大时，P点的坐标。
⑵证明：与线段AB平行的直线和抛物线相交于C、D两点，线段CD被直线x?x0 平分。
?y?4?x22?A?1,3?,B??4,2?且Px0,4?x0分析与解：⑴由?
?y?3x?? 则P到AB的距离d=
23x0?4?x0??10?3?25??x0???2?4?102，
3,73?， 所以当x0??时，d最大，此时P的坐标是（24）。
2 ⑵将y=3x+b带入y?4?x得线段CD中点的横坐标x=? 所以x?x0平分CD。
第四节 直线方程的四种形式
23， 2111xy??，试证明??1总通过一定点。 ab3ab3a分析与解：由已知有b?带入直线方程有：3（x-y）+a（y-3）=0,
a?3例题1：设
则由直线系方程知直线过x-y=0与y-3=0的交点（3，3）， 故
xy??1总通过一定点。 ab//例题2：把直线L向右平移3个单位，再向上平移5个单位得直线L,把直线L向右平移1 个单位，再向下平移2个单位，即与L重合，求两直线间的距离。
分析与解：设A（a,b）为L上一点，则B（a+3,b+5）为直线L上的点，C（a+4,b+3）为L 上的点，那么L的斜率 K=
/3， 4 则L的方程为3x-4y+4b-3a=0, 所以两条直线间的距离d?23?a?3??4?b?5??4b?3a5?11. 5例题3：有两条抛物线：y?x?2x?2 ⑴
y??x?ax?b ⑵ 在它们的一个交点处的切线互相垂 直时，证明抛物线⑵通过与a、b无关的一个定点Q，并求出Q点的坐标。 分析与解：设交点坐标为?p,y0?，则p?2p?2??p?ap?b ⑶
222 两条切线方程为y?y0?px?p?x?2和y?y0??px?ap?ax?b，
2222 由切线互相垂直则2?p?1??2? 由 ⑶⑷?a?b?1?a??p???1即?2p2??a?2?p?a??0⑷
2?2?552，将b??a带入⑵有2a?x?1??2x?2y?5?0，
2233 当x=1,y=时，上面式子成立且a、b无关。Q的坐标为（1，）。
22??例题4：ABCD是平行四边形，若点A（3，-1），C（2，-3），D点在直线3x-y+1=0上移动，
求B点的轨迹方程。
分析与解：设B（x,y）,D（x1,y1）对角线中点M?x0,y0?； 则由平行四边形对角线中点的特性知： x0?x?x13?25y?y1?3?1??,y0????2； 22222 即有x1?5?x,y1??4?y，且D点在直线3x-y+1=0上， 则3?5?x????4?y??1?0，即3x-y-20=0为所求轨迹方程。
第五节 圆锥曲线定义 基本思路：位置关系的数量特征?轨迹是什么曲线?根据曲线标准方程写出所求轨 迹的方程。
例题1：过原点的椭圆的一个焦点为F1（1,0）长轴长为4，求椭圆中心的轨迹方程。 分析与解：设另一个焦点F2?a,b?，则由椭圆定义有a?b?1?4?a?b?9；
2222 设椭圆中心为Q?x,y?则有x?2a?1b,y?即a?2x?1,b?2y; 221?9?2 故所求轨迹方程为 ?x???y?。
2?4?例题2：设x?y?25,求u?8y?6x?50?8y?6x?50的最大值。 分析与解：将x?y?25带入u有 u? =
2222x2?y2?8y?6x?25?x2?y2?8y?6x?25
?x?3?2??y?4?2??x?3?2??y?4?2，
设P?x,y?,A?3,?4?,B??3,?4?， 则u?PA?PB,根据正弦定理： u?2?5?SinA?SinB??20SinA?BA?B， Cos22 则当A=B时，u最大，此时点P为（0,5）?umax?610.
例题3：设长轴长为8的椭圆与实轴长为43的双曲线共焦点，求两曲线交点到焦点的距离。 分析与解：两个距离分别为L1和L2 ，
则由定义有L1+L2=8， L1-L2=43； 故我们有 L1=4+23，L2=4-23。
例题4：设双曲线的实轴长为2a，AB为左支上过左焦点F1的弦，AB?m,F2为右焦点， 求?ABF2的周长。
分析与解：根据定义AF2?AF1?2a,BF2?BF1?2a， 则有AF2?BF2?AF1?BF1?4a?AB?4a， 所以?ABF2的周长为m+4a。
例题5：求与已知圆x?y?r相切且过圆内一定点A（a,0）的圆的圆心P的轨迹方程。 分析与解：我们知道两个圆内切，并设圆P与圆x?y?r相交于Q点， 则OP?PA?OP?PQ?r（定值），
222222 由椭圆定义知P的轨迹为椭圆且中心为??a?,0?、焦距为a、长轴长为r的椭圆， ?2?a??x???y22?? 故所求轨迹方程为 ?2?1. 22rra?444例题6：求以F1??3，0?F2?3,0?为焦点且与直线x?y?9?0相切的椭圆方程。 分析与解：设P为切点，则PF1?PF2?2a，
求出F1关于直线x?y?9?0的对称点A（-9，-12）， 则知PF1?PA,
那么2a?PF1?PF2?AP?PF2?222?9?3?2?122?65,
x2y2 ?a?45,b?36，故所求椭圆方程为??1。
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第六节 命题构造问题
就几何图形给出的方式来讲，命题大体可分为两类，将构造型命题和非构造型命题，二者的区别是能否先作出图形。 构造型命题：指图形的给出是按作图的顺序叙述的，只要我们按着题目的叙述顺序就可以作 出图形来。
非构造型命题：它给出的几何对象（曲线）表示按作图方式叙述的，而是要求这个对象满足 几个条件，只有求出其它条件才能作出图形来。 方法：对构造型命题只要按作图顺序来计算，问题就可以解决。
对非构造型命题要根据考察的几何对象必须具备的全部条件列方程组来求解。 例题1：过抛物线y?2px （p>0）的焦点的一条直线和抛物线相交于二点，其纵坐标分 别记为y1 和y2，求证：y1y2=-p。 分析与解：设直线的斜率为k，则直线为y?k??x?22?p?，
?2? 带入抛物线y?2px有y?2222py?p2?0， k 由韦达定理知 y1y2=-p。
例题2：抛物线的方程是y?2x有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动，问这个圆运动 到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。（80年高考题）
分析与解：在交点A处抛物线与x轴的交点就是圆心，因此，等价于在抛物线上找一点A
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