2? ○2 TMm因G2?mg
R??得GM?gR2 ○3
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理 4 L?r2?R2?2rRcos? ○所求时间为
t?L ○5 c213由以上各式得
t??RgT??4?2?22??RgT2???R?2R??4?2??c322???cosa? ○6
41、（01北京、内蒙古、安徽卷） （12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引
力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。 参考解答：
设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球
2到O的距离分别为l1和l2．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
GM1M22?2?M()l1 ① 1TR2M1M22?2?M()l2 ② 22TR
③
G
l1?2?R
联立解得
4?2R3M1?M2?
GT2 ④
评分标准：本题12分．①、②、③、④各占3分．
42、（01上海卷） （10分）（10）1791年，米被定义为：在经过巴黎的子午线上，取从赤道到北极长度的一千万分之一。请由此估算地求的半径R。（答案保留二位有效数字）
（2）太阳与地球的距离为1.5×1011 m，太阳光以平行光束入射到地面。地球表面2/3的面积被水面所覆盖，太阳在一年中辐射到地球表面水面部分的总能量 W约为三1.87×1024J。设水面对太阳辐射的平均反射率为7％，而且将吸收到的35％能量重新辐射出去。
太阳辐射可将水面的水蒸发（设在常温、常压下蒸发1kg水需要2.2×106J的能量），而后凝结成雨滴降落到地面。
2
（a）估算整个地球表面的年平均降雨量（以毫米表示，球面积为4πR）。
（b）太阳辐射到地球的能量中只有约50％到达地面，W只是其中的一部分。太阳辐射到地球的能量没能全部到达地面，这是为什么？请说明二个理由。
解：（1）2πR×1/4＝1.00×107 R＝6.37×106 m ①
（2）（a）设太阳在一年中辐射到地球水面部分的总能量为W，W＝1.87×1024J 凝结成雨滴年降落到地面水的总质量为m
m＝W×0.93×0.65/(2.2×106)＝5.14×1017 kg ② 使地球表面覆盖一层水的厚度为h h＝m/ρs地球
h＝1.01×103mm ③
整个地球表面年平均降雨量约为1.0×103 mm
（b）大气层的吸收，大气层的散射或反射，云层遮挡等。
评分标准：全题10分。第（1）小题3分，第（2）小题7分。其中（1）得出①给 3分，写出R＝6.4×106 m，同样给分。
43、（03全国卷） （15分）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度
1s。问该中子星的最小密度30应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。
（引力常数G＝6.67×10－11m3／kg·s2) 参考答案：
考虑中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物质质量为m，则有
GMm2?m?R 2R2???
T4 M??R3?
3 由以上各式得
3? ?? 2GT 代人数据解得
很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝
??1.27?1014kg/m3
44、（04春季）（16分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h?342km的圆形轨道。已知地球半径R?6.37?10km，地面处
3的重力加速度g?10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）
设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有
Mmv2G2?mrr 2?rT?v地面附近
GMm?mg R2由已知条件 r?R?h 解以上各式得
(R?h)3T?2? 2Rg代入数值，得
T?5.4?103s
45、（07广东卷）（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）
⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比； ⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；
⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
解：⑴设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿
GM0mmv2?第二定律和万有引力定律： 2rr解得：v?GM0 rGM0和vB?rAGM0 rB对于A、B两颗粒分别有： vA?得：
vA6 ?vB2⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：
T?对于A、B两颗粒分别有： TA?2πr v2πrA2πrB和TB? vAvB得：
TA26 ?TB9⑶设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0/＝3.2×105 km处的引力为G0/，根据万有引力定律：
G0?GMm0 2r0G0/?解得：
GM0m0 r0/2M0?95 M46、（05广东卷）（13分）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法： 4?2h3 2??得同步卫星绕地球作圆周运动，由GMm?m???hM?GT2Th2??2⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 （13分）
(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。
正确的解法和结果是：GMm2?2?m()(R?h) ① 2(R?h)T4?2(R?h)3得M? ② 2GT2Mm2?24?2r3)r得M?（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由G2?m( ③
rTGT22MmgR2 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G2?mg得M? ④
RG47、（06四川卷）(16分)
荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，
(1) 该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
(2) 若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？ (1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有
GMm ① 2RGM解得 g星=2 ②
Rmg星=
(3) 设人能上升的最大高度为h,由功能关系得
mg星h=
1 ③ 22R2v0解得 h= ④
2GM48、（06天津卷）11（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m?的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m?（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v?2.7?10m/s，运行周期T?4.7??10s，质量m1?6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
（G?6.67?10?1154N?m2/kg2,ms?2.0?1030kg）
（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为?。由牛顿运动定律，有