2009-2010年高考数学模拟压轴大题总结+详细解析
1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次）已知在数列?an?中，a1?t,a2?t，其中t?0，
2x?t是函数f(x)?an?1x3?3[(t?1)an?an?1]x?1(n?2)的一个极值点.
(1)求数列?an?的通项公式； (2)若
12?t?2，bn?2an1?a2n(n?N)，求证：
*1b1?1b2???1bn?2?2n? n2.
解答. (1) 由题意得：f'(t)?0 ，即3an?1t?3[(t?1)an?an?1]?0 故an?1?an?t(an?an?1)(n?2)，则当t?1时，数列?an?1?an?是以
t?t为首项，t为公比的等比数列，所以an?1?an?(t?t)t222n?1 由
2n?2an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?t?(t?t)[1?t?t???t?t?(t?t)?2]1?tn?11?t?tn
n*此式对t?1也成立，所以an?t(n?N)――――――――6分
（2）
1bn?12(an?1an)?12(t?tn?n)，因为
12?t?2，所以(2t)n?1,tn?2，
n则(2?2n?n)?(t?tn?n))?1(2t)12n(2?t)[(2t)?1]?0 ，有
nnn1bn?12(2?2n?n)
故
1b1?1b2???1bn?12[(2?)?(2?2122)???(2?n12n)]
11b1?1b2???1bn12(1?2?[21?2n)?2(1?1?1212nn)]?2?n12(1?12n)
?1b1?1b2???1bn?2?n12?212n?2?2?n2―――――――12分
2.（南充高中2010届高三第二次）已知函数
112n?1rr2n?1?rn3n?12nf(x)=Cn0x2n?1?Cn，其中n(n?N?)． ?????Cn(?1)x?????Cnxx?Cnx（1）求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）设函数f(x)取得极大值时x=an，令bn=2?3an，Sn=b1b2?b2b3?????bnbn?1，若
p≤Sn 122rrrnn解答（1）f(x)?x2n?1[Cn0?Cnx?Cnx?????Cn(?1)x????Cnx] =x2n?1(1?x)n，……1分 2n?2n2n?1f?(x)?(2n?1)x(1?x)?x?n(1?x)= x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。……2分 令f?(x)?0 2n?13n?1x1?0,x2?,x3?1，从而x1 x （-∞，0） 0 （0， 2n?13n?1） 2n?13n?1 （ 2n?13n?1，1） 1 （0，+∞） f?(x) + 0 + 0 — 0 + f(x) ? 无极值 ? 极大值 ? 极小值 ? 所以当x= 2n?13n?1时，y极大= (2n?1)2n?1?nn(3n?1)3n?1；当x=1时，y极小=0. ……5分 当n为奇数时f(x)的增减如下表 x （-∞，0） 0 （0， 2n?13n?1） 2n?13n?1 （ 2n?13n?1，1） 1 （0，+∞） f?(x) + 0 + 0 — 0 — f(x) ? 无极值 ? 极大值 ? 无极值 ? 所以当x= 2n?13n?1时，y极大= (2n?1)2n?1?nn(3n?1)3n?1。……8分 （2）由（1）知f(x)在x= 2n?13n?11时取得最大值。所以an= 2n?13n?1， bn=2?3an= 3n?1， bnbn?1?1(3n?1)(3n?2)?133n?1(1?13n?2) Sn?13[(12?15)?(15?18)?????(13n?1?13n?2)]= 16?13(3n?2)?16。 n?N??0?13(3n?2)?115，??115?13(3n?2)1?0即 110?16?13(3n?2)?16； 所以实数p和q的取值范围分别是p?(??,3.(2010届扬州市高三数学学情调研测试) 1]，q?[.??)。……14 106已知数列{an}是首项为a1?bn?2?3log1414,公比q?14的等比数列，设 an(n?N*)，数列{cn}满足cn?an?bn。 （1）求证：{bn}是等差数列； （2）求数列{cn}的前n项和Sn； （3）若cn?14m2?m?1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 1解答：（1）由题意知，an?()(n?N*)?bn?3log4n14an?2,b1?3log14a1?2?1 ?bn?1?bn?3log14an?1?3log14an?3logan?114an?3log14q?3 ∴数列{bn}是首项b1?1,公差d?3的等差数列 （2）由（1）知，an?()n,bn?3n?2(n?N*)?cn?(3n?2)?()n,(n?N*) 44?Sn?1?12131n?11n?4?()?7?()???(3n?5)??)?(3n?2)?(), 444441213141n1n?1 ?1?()?4?()?7?()???(3n?5)??)?(3n?2)?()444443Sn?1111于是 14Sn两式相减得 12131n1n?1?3[()?()???()]?(3n?2)?() 44444411n?1212n?81n?1??(3n?2)?().?Sn???()(n?N*) 24334111444（3）?cn?1?cn?(3n?1)?()n?1?(3n?2)?()n?9(1?n)?()n?1,(n?N*) ∴当n=1时，c2?c1?14 14当n?2时,cn?1?cn,即c1?c2?c3?c4???cn∴当n=1时，cn取最大值是又cn?2 14m2?m?1对一切正整数n恒成立?14m2?m?1?14 即m?4m?5?0得m?1或m??5 4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次)已知函数fx. ??x?ax?b(a,b?R)??32（1）若f?x?在[0，2]上是增函数，求证：f( x?2是方程f?x??0的一个实根，1)??2；（2）若f?x?的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数a的取值范围. 2解答：（1）f' (x)??3x?2ax2 由题可知f'在[0，2]上恒成立. ()x??3x?2ax?0?3x?2ax?0?2axx?3 22当x?0时此式显然成立，a?R； a?6?a?3当x?(0,2]时有2a?3x恒成立，易见应当有2， 2可见f'在[0，2]上恒成立，须有a?3 ()x??3x?2ax?0又f (2)?0?b?84?a ?f(1)?a?b?1?7?3a??2(x,fx),Q(y,fy)（2）设P是f?x?图象上的两个不同点，则 ????f?x??f?y?x?y(?x?ax?b)?(?y?ay?b) ?1??1x?y323222???(xyxy)?a(x?y)1? ? 2?x?(y?a)x?(y?ay?1)0?此式对于x恒成立，从而 222??0?3y?2ay??a4?0 2此式对于y也恒成立，从而? '?0?a?3?a?(?3,3)注：用导数方法求解略，按相应步骤给分. 5.(衡阳市八中2010届高三第二次数学（理科）设函数f(x)＝3x?4x?12,g(x)?6a2x?a，a＞ 13， (1) 求函数f(x)的极大值与极小值； (2) 若对函数的x0??0,a?，总存在相应的x1,x2??0,a?，使得g(x1)?f(x0)?g(x2)成立，求实数a的取值范围. 解答(1)定义域为R f?(x)?令 f?(x)?0,x1??3.x2?133(x?1)?(3x?4)?2x(x?1)2２2??(3x?1)(x?3)(x?1)1(?3,)322 x f?(x) (??,?3) -3 0 13 1(,??)3 ，且 ∴f(x)：极大值为f()?3192— ↘ + 0 — f(x) 极小值 ↗ 极大值 ↘ ，极小值为f(?3)??12 (2)依题意，只需在区间?0,a?上有 ?f(x)?max??g(x)?max ?f(x)?min??g(x)?min ∴f(x)在?0,?↑，?,a?↓??f(x)?max?f()?,f(x)取小值f(0)或f(a) 32?3??3? 又f(0)＝４，f(a)?3k?4a?12?1??1?19,f(a)?f(0)?a(3?4a)a?1342 ∴当 13＜a＜ 34时，?f(x)?min?f(0)?4,当a?时，?f(x)?min?f(a)?3a?4a?12 又g(x)在?0,a?↓??g(x)?max?g(0)?6a,?g(x)?min?g(a)?3a 1392∴ 式即为 ＜a＜ 34 a?9243 ?6a 或 ?6a