③当p?0时，m的取值范围为R． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11.(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知f(x)?x?bx?2,x?R.
2（1）若函数F(x)?f[f(x)]与f(x)在x?R时有相同的值域，求b的取值范围； （2）若方程f(x)?|x2?1|?2在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明
1x1?1x2?4.
解答（1）当x?R时，f(x)?x2?bx?2的图象是开口向上对称轴为x??b2的抛物线，
?8?b2??8?b2?,???，∴F(x)?f[f(x)]的值域也为?,???的充要条件 ∴f(x)的值域为??4??4?是
8?b42≤?b2,即b?2b?8≥0,?b≤?2,或b≥4，
2即b的取值范围为(??,?2]?[4,??).
（2）f(x)?|x2?1|?2,即x2?bx?|x2?1|?0，由分析知b?0
不妨设0?x1?x2?2,令H(x)?x2?bx?|x2?1|???bx?1,|x|≤1,?2x?bx?1,|x|?1,2
因为H(x)在(0,1]上是单调函数，所以H(x)?0在(0,1]上至多有一个解. 若x1,x2?(1,2)，即x1、x2就是2x2?bx?1?0的解，x1x2??因此，x1?(0,1],x2?(1,2).由H(x1)?0得b??1x112?0，与题设矛盾.
，所以b≤?1；
由H(x2)?0得b?721x2?2x2,所以?722?b??1.
故当??b??1时，方程f(x)?|x?1|?2在(0,2)上有两个解.
由b??1x1和b?1x2?2x2消去b，得
1x1?1x2?2x2. 由x2?(1,2),得1x1?1x2?4.
12.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份)
已知数列{an}中，a1?1，且an?(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
nn?1an?1?2n?3n?2(n?2,n?N)．
*
(Ⅱ) 令bn?3n?1anan?1n?1*(n?N)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；
(Ⅲ) 令cn?(n?N)，数列{*2cn(cn?1)2*}的前n项和为Tn．求证：对任意n?N，
都有 Tn?2． 解：(Ⅰ)由题an?nn?1an?1?2n?3ann?a11n?2知，n?n?1?2?3n?2，
n?1 n2n?2aa由累加法，当n?2时，?2?2?3?2?3???2?3
代入a1?1，得n?2时，
ann?1?2(1?3n?1)1?3?3n?1
n?1*又a1?1，故an?n?3(n?N)． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（II）n?N时，bn?*3n?1an1?1n1214．
121314方法1：当n?1时，S2?1?当n?3时，S2?1?3n?1；当n?2时，S22?1??15?16?17?18?3．
???2；
12?13?猜想当n?3时，S2?n． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 下面用数学归纳法证明：
①当n?3时，由上可知S2?3成立；
3②假设n?k(k?3)时，上式成立，即1?当n?k?1时，左边?1?12?1k12??13k???12k?k. 12k?112?13???k12k12?1???
?k????12k?1?k?2k2?1n?k?1，所以当n?k?1时成立．
*由①②可知当n?3,n?N时,S2?n．
综上所述：当n?1时,S2?1；当n?2时, S2?2；
12*当n?3(n?N)时,S2?n． ．．．．．．．．．．．．．．．10分
n方法2：S2?1?n12?13???12n
记函数f(n)?S2?n?(1?n12?132???1n?112n)?n
所以f(n?1)?(1?12?13???．．．．．．．．6分 )?(n?1) ．
12n?1则f(n?1)?f(n)?(12?1n?12?2n???)?1?2nn2?1?1?0
所以f(n?1)?f(n)． 由于f(1)?S2?1?(1?112)?1?0，此时S21?1； ??1414)?2?0，此时S22?2； ?15?16?17?18)?3?0，此时S23?3；
nf(2)?S22?2?(1?f(3)?S23?3?(1?1212??1313由于，f(n?1)?f(n)，故n?3时，f(n)?f(3)?0，此时S2?n．
综上所述：当n?1,2时，S2?n；当n?3(n?N*)时,S2?n． ．．．．．．．．．．．10分
nn（III）cn?an?1n?1?3nn
2当n?2时，
2?3n(3?1)?2?3nnn(3?1)(3?3)2?3222?2?3nn?1n?1(3?1)(32?3nn2?1)12?13n?1?1?13?113?12n.
所以当n?2时Tn?＋??(且T1?1n?1321?(3?1)???1(3?1)?32?(?13?12)?(?13?13)
332?1?3?1n)?2?3?1n?2．
?2
*故对n?N，Tn?2得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
13.(湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理）已知二次函数f(x)?ax?bx（a,b为常数
2且a?0），满足条件f(1?x)?f(1?x)，且方程f(x)?x有等根． (Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)设g(x)?1?2f(x)(x?1)的反函数为g(x),若g(2)?m(3?2)对x?[1,2]恒成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存
?1?12xx
在，求出 m,n的值，如果不存在，说明理由． 解：(Ⅰ) ∵f(1?x)?∴?
（Ⅱ）由（I）得g(x)?y?g(x)?1??12f(1?x)，∴ ?b2a?1，又方程f(x)?x12有等根 ?ax2?(b?1)x?0有等根，
?(b?1)?0?b?1,?a??12,?f(x)??x?x2 …………………3分
?x2?2x?1?当x?1时,y?(x?1)(y?0),?x?1?y,即x?1?y.
x(x?0)． ………………5
x分
g?1(22x)?m(3?2)xx对x?[1,2]恒成立?1?2?m(3?2),对x?[1,2]恒成立.?(m?1)2?1?3m?0.
xx设t?2,则2?t?4,且g(t)?(m?1)t?1?3m?0,对t?[2,4]恒成立，
?g(2)?2(1?m)?1?3m?0???g(4)?4(1?m)?1?3m?0解得
?5?m?3
的取值范围是?5?m?3 ………………9分 （Ⅲ）∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x?1，
?m1? 当
m?1时，
f(x)在
2[m,n]上是减函数，∴3m?f(x)min?f(n)??12n?n2 (*)，
3n?f(x)max?f(m)??12m?m122两式相减得：3(m?n)??化简得：n2(n?m)?(n?m)2，∵1?m?n，上式除以m?n得：m?n?8，代入 (*)
?8n?48?0无实数解．
3m?f(x)min?f(m)??12m?m22? 当n?1时，f(x)在[m,n]上是增函数，∴ ，
3n?f(x)max?f(n)???m??4,n?012n?n2
f(x)max?f(1)?12?n?163? 当m?1?n时，对称轴x?1?[m,n]，3n?在?m??4,n?0与n?1矛盾综合上述知，存
满足条件． …………………13分
x14. (湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理已知函数f(x)?e（其中e?2.71828?为自
然对数的底数），g?x??n2x?m(m,n?R)。
（Ⅰ）若T(x)?f(x)?g(x)在(0,T(0))处的切线与直线y?x平行，试用n表示m，并求此时T(x)在[0,1]上的最大值；
（Ⅱ）若n?4时方程f(x)?g(x)在[0,2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围； （Ⅲ）在m??
152，n?N时,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大自然数n。
?
解：（Ⅰ）T(x)?ex(此时T?(x)?ex(n2n2x?m)，T?(x)?ex(n2x?m)?e?xn2，由m?n2?1得m?1?n2，………2分
x?1)，
?0n2①当n?0时，T?(x)?ex，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max2n)?T(1)?e；
②当n?0时，T?(x)?ex?此时T(x)max?T(1)?e(x?，T(x)在(?2n,??)上为增函数，故T(x)在[0,1]上为增函数，则
；
n2(x?2n)③当n?0时，T?(x)?ex?若0??T(x)max?T(?2n，T(x)在(??,?2n2n)上为增函数，在(?上为增函数，在[?2n2n,??)上为减函数，
?1，即n??22n时，故T(x)在[0,?2n?e?2n],1]上为减函数，则此时
2n)?e?(?1?m)??，
?T(1)?e若?2n?1，即?2?n?0时，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；
综上所述：当n??2时T(x)max；当n??2时T(x)max??2n?e?2n； ………………6分
（Ⅱ）F(x)?f(x)?g(x)?ex?2x?m，F?(x)?ex?2，故F(x)在(0,ln2)上单调递减；在(ln2,??)上
x?)e?2?x在m[0,2]上恰有两个相异实根，单调递增；故F(x?F(0)?1?m?0???F(ln2)?2?2ln2?m?0?2?2ln2?m?1………10?2?F(2)?e?4?m?0分
（Ⅲ）?p(x)?f(x)?g(x)?e?n2x2xn2x?152?0恒成立（?），因为p?(x)?ex?p(x)min?p(lnx2n2)?n2?n2lnn2?n2故p(x)在(0,ln?12(n?nlnn2n2)上单，
调递减；在(ln设h(x)?递减；
x?xln,??)上单调递增；故（?）?，则h?(x)?1?lnx2?1??ln152?15)?0?15，故h(x)在(0,2)上单调递增；在(2,??)上单调
而h(2e2)?2e2?2e2lne2?15?15?2e2?0，且h(15)?15?15lnx0152?15?15(2?ln152)?15(lne?ln2152)?01?2，
,[)故存在x0?(2e2,15)使h(x0)?0，且x?26n?lx?(x0,??)时h(x)?0，时h(x)?0，又?h)1(1?0故n?N时使
?f(x)的图象恒在g(x)图象的上方的最大自然数n?14； ………14分
15.(湖北省荆州中学2010届高三九月数学卷（理科）
如果f?x0?是函数f?x?的一个极值，称点?x0,f?x0??是函数f?x?的一个极值点.已知函数