af?x???ax?b?ex?x?0且a?0?
（1）若函数f?x?总存在有两个极值点A,B，求a,b所满足的关系；
（2）若函数f?x?有两个极值点A,B，且存在a?R，求A,B在不等式x?1表示的区域内时实数b的范围.
（3）若函数f?x?恰有一个极值点A，且存在a?R，使A在不等式?内，证明：0?b?1.
a?x?1?y?e表示的区域
解：（1）f'(x)?a?ex?(ax?b)(?ax2a)?ex
令f??x??0得x2?ax?b?0 ?a2?4b?0 又 ?a?0且x?0
a2?b?4且b?0 ………………3分
（2）x2?ax?b?0在(?1,1)有两个不相等的实根.
???a2?4b?0?a???1??1即? 得 2?1?a?b?0???1?a?b?0?4b?a2?2?a?4 ?b??1? ??1?b?1且b?0 ………………7分 （3）由①f?(x)?0?x?ax?b?0(x?0)
a2①当b?0f??x??a?e?xx?ax?bx22在x?a左右两边异号
?(a,f(a))是y?f?x?的唯一的一个极值点
?0?a2?1?－1?a?1且a?02由题意知? 即 ? 即 0?a?1 22??e?(a?b)e?e??1?a?1存在这样的a的满足题意 ?b?0符合题意 ………………9分
22②当b?0时，??a?4b?0即4b?a
这里函数y?f(x)唯一的一个极值点为(,f())
22aa
?a?1且a?0?2?由题意?
1a??e?(?b)e2?e??22?0?a?4?1 即 即 ?1a22?b?e2??e??2?0?4b?4?1 ?122???e?b?e?0?b?1 ………………………………13分
综上知：满足题意 b的范围为b?[0,1). ……………………………14分
16.(湖南省师大附中2010届高三第二次数学理试题
21.(本小题满分13分)
已知数列{am}是首项为，公差为b的等差数列，公比为的等比数列，{bn}是首项为b，且满足a1?b1?a2?b2?a3，其中a、b、m、n?N*.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若数列{1?am}与数列{bn}有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列
{cn}，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列{cn}的前项之和为Sn，求证：
9S1S2?9S2S3?9S3S4???9SnSn?1?1942(n?3).
n?1【解】（Ⅰ）由题设am?a?(m?1)b,bn?b?a. （1
分）
由已知a?b?a?b?ab?a?2b，所以ab?a?2b?3b.又b＞0，所以a＜3. （2分）
因为ab?a?b,b?a，则ab?2a.又a＞0，所以b＞2，从而有a?bb?1?1. （3
分）
因为a?N*，故a?2. （4分）
n?1（Ⅱ）设1?am?bn，即1?a?(m?1)b?b?a. （5
分）
n?1因为a?2，则3?(m?1)b?b?2，所以b?32n?1?(m?1). （6
分）
n?1n?1?(m?1)?1，即m?2，且b＝3. （7因为b?a?2，且b∈N*，所以2分）
n?1故cn?bn?3?2. （8
分）
n?1n（Ⅲ）由题设，Sn?3(1?2???2)?3(2?1). （9
分）
n01n?1n01n?1n当n?3时，2?1?Cn?Cn?L?Cn?Cn?1?Cn?Cn?Cn?Cn?1?2n?1，当且
仅当
9Snsn?1n?3时
1等号成
1立，
1所
1以
1Sn?3(2n?1).
（11分） 于是
?(2?1)(2nn?1?1)?(2n?1)(2n?3)?22n?1[?2n?3](n?3). （12
分）
因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则
9S1S2?13??9S2S31??9S3S4???9SnSn?1?13?121?1111111[??????] 2799112n?12n?32111111119. (13(?)????3211442272n?3分)
17.(湖南师大附中2010届高三第三次试卷)
如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
D （Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F， 若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l的斜率的取值范围. 【解】（Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别
A 为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
P O B 点A(－2，0），B(2，0），P(3，1). （2分）
设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 2a＝｜PA｜－｜PB｜＝分）
所以a＝2，c＝2，从而b2＝c2－a2＝2. （4分）
故双曲线C的方程是
x2(2?3)?1?（2?223）?1＝22，2c＝|AB|＝4. （3
222?y22?1. （5
分）
方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 点A(－2，0），B(2，0），P(3，1). （2分）
设双曲线C的方程为分）
解得a＝b＝2，故双曲线C的方程是分）
2
2
xa22?yb22?(3)21??1?2?1(a＞0，b＞0），则?a2. （3b?a2?b2?4?x22?y22?1.（5
22(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，x?(kx?2)?2，即 (1－k2)x2－4kx－6＝0. （6分）
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则
1?k2?0,22 即 k??1,?4k（7
3. 61?k??(?4k)?4?6(1?k)?0,3?k?分）
设点E(x1，y1），F(x2，y2)，则x1＋x2＝分）
所以｜EF｜＝(x1?x2)2?(y1?y2)2?＝
分）
又原点O到直线l的距离d＝分） 所以S△DEF=
12d?EF?12?21?k2221?k2,x1x2??. （8
(1?k)(x1?x2)22
21?k2. （10
?1?k22?223?k221?k4?223?k1?k22.（11
2?k?2. 分）因为S△OEF?22，则（12分）
3?k21?k?22?k?k2?2?0,解得?综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－分）
2，－1)U(－1，1)U(1，2]. （13