4?133443
3a?4a?143432?3a
＜a＜ a?
解的 a?4343 （无解） a? ∴
34?a?343
a? a?343
6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理）
已知函数f(x)?ln1?2x?mx
（Ⅰ）f(x)为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m??1时，求函数f(x)的最大值； （Ⅲ）当m?1时，且1?a?b?0，证明：解答：（1）f(x)?ln因为对x??121?2x?mx，(x??4312?f(a)?f(b)a?b?2. 1?m
) ∴f?(x)?1?2x，有
11?2x?(0,??) 11?2x?m?0，对x??11?2x12∴不存在实数m使f?(x)?由f?(x)?而?11?2x11?2x恒成立 ………2分
?m?0恒成立，∴m??，
?0，所以m?0
11?2x?m?0对x??12经检验，当m?0时，f?(x)?恒成立。
∴当m?0时，f(x)为定义域上的单调增函数 ………4分 （2）当m??1时，由f?(x)? 当x?(?1211?2x?1??2x1?2x?0，得x?0
,0)时，f?(x)?0，当x?(0,??)时，f?(x)?0
∴f(x)在x?0时取得最大值，∴此时函数f(x)的最大值为f(0)?0 ………7分 （3）由（2）得，ln1?2x?x对x??12恒成立，当且仅当x?0时取等号
当m?1时，f(x)?ln
1?2x?x，∵1?a?b?0，a?b?0
∴f(b)?f(a)?lnb?a1?2a1?2b1?2a?(b?a)?ln1?2(b?a)1?2a?(b?a)
??(b?a)???(a?b)(2?2a)1?2a
∴
f(a)?f(b)a?b2?2a1?2a
f(a)?f(b)a?b2?2a1?2a11?2b?2?2a1?2a同理可得
1?431?a?b?0，2?2b1?2b43?1??1?1?2a
?2
?2 ………12分
12,??)∴?f(a)?f(b)a?b法二：当m?1时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），f(x)在(?上递增
令g(x)?f(x)?11?2x43x?12ln(1?2x)?13x
g?(x)??13?2(1?x)3(1?2x)在?0,1?上总有g?(x)?0，即g(x)在?0,1?上递增
当0?b?a?1时，g(a)?g(b) 即f(a)?43a?f(b)?4b?f(a)?f(b)?43a?b31令h(x)?f(x)?2x?ln(1?2x)?x由（2）它在?0,1?上递减 ∴h(a)?h(b)
2
即f(a)?2a?f(b)?2b
f(a)?f(b)?2(a?b) ∵a?b?0
∴
f(a)?f(b)a?b?2，综上
43?f(a)?f(b)a?b?2成立 ………12分
其中0?b?a?1
7.(银川一中2010届高三年级第二次)
已知f(x)?logax,g(x)?2loga(2x?t?2),(a?0,a?1,t?R)
（Ⅰ）当t?4,x??1,2?,且F(x)?g(x)?f(x)有最小值为2时，求a的值；
（Ⅱ）当0?a?1,x??1,2?时，有f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围
4(x?1)a2解答（1）?t?4,F(x)?g(x)?f(x)=2loga(2x?2)?log1x?2)
ax?logx
?loga4(x?1x又y?x?在x??1,2?单调递增，
?当a?1时F(x)在x??1,2?也单调递增?F(x)min?loga16?2，解得a?4 ?F(x)min?loga18?2，
当0?a?1时F(x)在x??1,2?也单调递减解得a?18?32，舍去
所以a?4
（2）f(x)?g(x)，即logax?2loga(2x?t?2)?logax?loga(2x?t?2)
22?0?a?1,x??1,2?，?x?(2x?t?2)，?x?2x?t?2，?x?2x?2?t，
?x?2x?2?t，依题意有(x?2x?2)max?t
x?2x?2??2(x?x?1,而函数y?14)?2178
因为x??1,2?,?2，ymax?1，所以t?1
?8.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）
?等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数
y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
x（1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?14an(n?N) 求数列{bn}的前n项和Tn
?解答:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的
n图像上.所以得Sn?b?r,
x当n?1时,a1?S1?b?r,
nn?1nn?1n?1当n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)b,
又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?12Tn?12222n?14an?n?14?2n?1?n?12n?1
?322233??222423244????123n?12n?1
nn?1425???124相减,得
Tn????215?n?12n?2
?n?1212n?1n?22???12n?1
1
12?23?(1?1?112n?1)?n?12n?2?34??n?12n?2
2?32?n?32n?1所以Tn?
32?12n?n?12n?1
9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）
.设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2
2（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （II）证明：f?x2??1?2In24解答: （I）f??x??2x?a1?x?2x?2x?a1?x2(x??1)
122 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个
???4?8a?01均大于?1的不相等的实根，其充要条件为?，得0?a?
2?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??212?x2?0，a??(2x2222+2x2)
?f?x2??x2?aln?1?x2??x2?(2x2+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x2?(2x2?2x)ln?1?x?(x??12)，
则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?12,0)时，h??x??0,?h(x)在[?12,0)单调递增；
⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
?当x?(?12,0)时,h?x??h(?1?2In2412)?1?2ln24
故f?x2??h(x2)?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
．
10(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)?1，若任意的a、b?[?1,1]，当a?b?0时，总有
f(a)?f(b)a?b?0．
（1）判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：f(x?1)?f(1x?1)；
（3）若f(x)≤m2?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒成立，其中p?[?1,1]（p是常数），求实数m的取值范围．
解答（1）f(x)在??1,1?上是增函数，证明如下： 任取x1、x2???1,1?，且x1?x2，则x1?x2?0，于是有
f(x1)?f(x2)x1?x2?f(x1)?f(?x2)x1?(?x2)?0，
而x1?x2?0，故f(x1)?f(x2)，故f(x)在??1,1?上是增函数； （2）由f(x)在??1,1?上是增函数知：
???1≤x?1≤1?1?≤1???1≤x?1??1x?1??x?1???2≤x≤0??x≥2,或x≤0??x??2,或1?x???2≤x??22，
故不等式的解集为x?2≤x??2．
（3）由（1）知f(x)最大值为f(1)?1，所以要使f(x)≤m2?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒成立，只需1≤m2?2pm?1成立，即m(m?2p)≥0成立． ①当p?[?1,0)时，m的取值范围为(??,2p]?[0,??)； ②当p?(0,1]时，m的取值范围为(??,0]?[2p,??)；
??