图 2 原始数据的频次直方图
容易看出，图1中四个学期的成绩频次直方图均明显偏离正态分布曲线，同时结合表一结论可以知道，四个学期的成绩数据分布呈现绩负偏态分布，而非平常我们所认为的正态分布。 问题二 ：评价学生的学习状况 模型一：模糊层次分析模型 1. 模型准备：
模糊层次分析法采用0.1～0.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足一致性条件，无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下： (1).建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：
R?(rij)n?n?r11?r1n????????? ?r?r?nn??n1其中rij表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系，采用0.1-O.9标度给予数量表示，且rij?rji=1。
(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵。记ri??rik,i?1,2,?,n,做变换
k?1nrij?ri?rj2n?0.5，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。
111nn?1(3). 根据wi??，推导出各因素权重值。 ??rij,(i?1,2,?,n),a?n2anaj?12
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(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。 (5).根据考评结果得出优劣次序。 2. 模型建立：
3. (一).确立评价指标体系。将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准则层，以此建立如下表所示递节层次结构。
表1 学生学习状况评价指标体系 目标层 准则层 指标层 第一学期成绩C1 第二学期成绩C2 学生实际成绩B1 第三学期成绩C3 学生学习情况综合评价A 第四学期成绩C4 第一学期进步度C5 学生成绩进步情况B2 第一学期进步度C6 第一学期进步度C7 (二).构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：
?0.50.3??0.50.4?A- B的优先关系矩阵：? A-B模糊一致矩阵：???
?0.70.5??0.60.5??0.5?0.6B1-C的优先关系矩阵：??0.7??0.80.40.30.2??0.50.40.3?
0.60.50.4??0.70.60.5??0.50.450.40.35???0.550.50.450.4? B1?C模糊一致矩阵：??0.60.550.50.45???0.650.60.550.5???0.50.50.3??0.50.50.4?????B2?C的优先关系矩阵：?0.50.50.3? B2?C的模糊一致矩阵：?0.50.50.4?
?0.70.70.5??0.60.60.5?????由模型准备中的步骤（3）中的计算公式，我们取a=(n-1)/2,可以算的B层相对于A层，更因素权值为w1?(0.4,0.6),C层相对于B层，各指标相对应上层相应因
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素的权值分别为：
w11?(0.2000,0.2333,0.2667,0.3000)，
w12=（0.3000，0.3000，0.4000）（三）.将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重如下表所示：
准则 B1 B2 各指标 指标 0.4 0.6 权重
C1 0.2000 0.0800 C2 0.2333 0.0933 C3 0.2667 0.1067 C4 0.3000 0.1200 C5 0.3000 0.1800 C6 0.3000 0.1800 C7 0.4000 0.2400 对于学生i学习状况的综合评定定量表示如下：
Ci?k1?x1i?k2?x2i?k3?x3i?k4?x4i?k5?x5i?k6?x6i?k7?x7i （五）.再由合评定如下表：
20个学生为例，对他们成绩的综
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学生序号一学期成绩二学期成绩三学期成绩四学期成绩进步度2-4.1757974.82574.2976.981275.62573.40357180.59127574.845-2.2214362.120312559.21428668.50188768.865-2.906482.7583.20392976.50660480.870.4539376.183.11607177.57547283.2957.016075-12.9872.49678.27565.29464376.0466.505-0.8321776.32575.49285763.435860.9558.23214355.90094316.5-2.7179969.1576.35714371.05495373.647.207141075.17569.52678675.33679270.19-5.64821184.07582.28928681.57924568.18-1.78575.8285763.168.92857169.26886868.271273.12578.9281.925-4.03751377.16251476.57575.41785774.69386874.565-1.15712.77571.1576.10377478.4351568.37570.570.78571474.5682.0450.285711675.178.34285782.37141578.1653.242861753.552.37142963.28563.615-1.1286181967.02572.48214375.08891573.995.45714-3.460783.580.03928677.64572.920进步度3进步度4综合得分-0.5352.6930.2637.1877-5.746329.9949.28760.3631127.303-6.69734.363432.174-5.54065.7195333.75410.7454-3.5527.912-12.0583.0726.315-2.3312-39.4017.889-5.30222.5850530.0385.81001-5.146827.756-0.71-13.39927.6250.3403-0.998927.9335.7953.00532.285-0.724-0.128929.7114.953772.3312331.5913.774297.48532.5724.02856-4.206431.78610.91360.3325.3932.60677-1.098930.203-2.3943-4.74528.988由上表的计算结果可看出，5号同学的综合得分最高，为33.754，说明其学习状况在这20名同学中最好，而且其进步度逐渐增大，说明其学习越来越努力，成绩不断在提高。而8号同学的综合得分最低且为7.889，说明他在这20名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评定，来说明他们的学习状况。
优点：模糊层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。
缺点：此方法仍一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定有待进一步的改进。
模型二：成绩标准化模型 2.1 原始成绩的标准化
为了使得学生之间成绩的差距分布更为合理，原来成绩偏低的学生经过变换后处于中等位置，从而使他们会得到适当的鼓励，树立信心，不断进步，并改变负偏态分布中有较多同学集中在高分段或低分段的情况，激励成绩较低的学生努力学习取得更好的成绩，有必要将负偏态分布的学生成绩通过数学手段变换为正态分布，而且变换成正态分布后，还会对数据处理带来极大的方便。
由于每个学期的评价体系存在一定的波动，例如考核中不可避免的难易程度的变化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性。例如某学生第一学期的成绩为82 分，排名103 位。而第二学期为85 分，但是考虑到总体情况，第二学期考核偏易，排名112 位，导致该学生排名比第一学期下滑。为了消除这些学期之间的差异，为此将正态分布再经过变换为标准正态分布，使得同一学生
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在不同学期的成绩具有更可靠的可比性。由此我们最终得到了标准化的成绩，称之为“有效成绩”，并运用该成绩对学生的学生状况进行评价。
下面讲述如何将原始成绩变换为标准化的成绩。 第一步：原始成绩的正态化及其检验
假设xi0(i=1,2,??612) 为612个学生的某一学期的原始成绩,由将偏态分布变换为正态分布的对数变换法，令：
yi?ln(100?xi0)
此时这些学生的变换成绩yi 满足正态分布。由于该函数是单调递减函数，原始成绩高的反而变换成绩低，为了与传统习惯保持一致，再经过下述变换
xi??2y?yi， 此时的xi?为正态化之后的成绩。
从图3的频次直方图可以看出xi?基本符合正态分布。为了进一步验证成绩分布是否为正态分布，我们用matlab进行了正态性检验，检验结果如图4所示，从图中可以看出实际观测值与期望值在中央横线的一段，坐标点落在中央横线附近，在中央横线的两端则有一定的偏离，但绝大部分偏离值均小于0.05，仅有个别点偏离较大。可见，学期1～4 的成绩呈现正态分布。
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