图3
xi?
的频次直方图
11
图4 四个学期的正态检验图
第二步：将正态分布标准化
由于xi?已是正态分布，因而可由正态分布转化为标准正态分布的相关公式，将
xi?转化到服从标准正态分布，得：
定义有效成绩：
i=1，2，??612
xi?xi??x??21n1n1n 其中均值为x???xi???(2y?yi)??yi，
ni?1ni?1ni?111??(x?x)?(yi?y) 方差为σ=??in?1i?1n?1i?12
nn2。
此即我们所定义的有效成绩。下表是我们应用EXCEL，由四学期原始成绩计算的有效成绩xi(由于篇幅有限成绩列表均只列出部分成绩，计算过程 及其它见附件)。图4为有效成绩xi的频次分布直方图，可以看出它已很好的符合正态分布。
表2：有效成绩
学生序号 1 2 3 4 5 6 学期1 0.6524554 0.1965128 -1.152195 1.2542485 0.2567182 0.5486194 学期2 学期3 学期4 总分 0.57667 0.586292 -2.75746 3.068385 2.604728 -0.72752 -0.145185709 0.019686472 0.049714274 -0.293750963 0.893424606 -0.209894209 -1.450222978 0.679121693 -0.834160597 0.949484499 0.273127143 0.591525206 0.935372805 0.42435245 0.988284168 -1.013557873 0.209256812 -0.471843181 ????? ????? ????? ????? ????? 0.895559 0.507474241 0.179007236 0.980409905 2.56245 1.9994309 1.696943382 1.035327858 0.542967756 5.27467 -1.666376 -0.304638874 0.316152194 1.600975952 -0.05389 此时应用有效成绩已经能够对学生的学习情况进行公平、合理的评价，因为原始分数没有比较的参照点，故而不可比。而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准，以标准差作为单位，而且它的基本形式都是平均数为零、标准差为1。因而无论不同学期成绩的平均分和标准差多么不同，一经转换为均值为零和标准差为1的标准分数，则不同学期成绩所处的相对地位是平行的，从而有了可比性。这时学生学习状况的评定不再是简单的绝对分的比较，名次的提高，也即进步成为了决定学生成绩的重要因素。从这些数据可以看出，有的同学总分排名较后，
12
? 610 611 612 可有效成绩排名却来了个咸鱼大翻身，一跃进入前列，而且，有的同学标准分总分甚至出现负分，这就说明该考生的分数低于平均分。
图5 xi 的频次直方图
下面为了能够直观的了解不同学生成绩在整体中的位置，我们进一步对成绩进行等级评定。
2.2 基于有效成绩的等级评定
在将原始成绩化为符合标准正态分布的数据之后，我们将建立一种评分制度——标准化分数为基础的成绩标准化评价模型。
服从正态分布的数据概率曲线具有对称性，其数据按概率落人一定范围内，如下表所示。
13
范围 ??0.5? 38% ??1.0? 68% ??1.5? 86% ??1.64???1.96???2.58? 90% 95% 99% 概率 ?：为总体算术平均值 ?：为总体标准差
实际教学中，对考试成绩约定俗成地选用90分、80分、70分、60分作为等级分数线，评定成绩的优秀、良好、中等、合格与不台格。我们根据落入??1.0?和
??1.64?内外的概率来确定成绩的等级，取落人??1.0?内的概率为68％，落入??1.64?外的概率为10％ ，落入余下的概率为22％，则可确定优秀、不合格各占50％ ，良好、台格各占11％，中等占68％。各等级的对应分数线为概率等级分数线（DP），经对数变换的成绩数据还原成原始分数，即为各等级的分数。 经计算可得各等级分数线表，如下所示： 学期 等级 学期1 学期2 学期3 学期4 优秀（5%） 88.13 88.36 88.50 88.90 良好（11%） 80.25 82.34 83.00 84.00 中等（68%） 68.25 69.54 70.00 70.68 合格（11%） 58.30 58.00 59.46 59.50 不合格（5%） 58.30以下 58.00以下 59.46以下 59.50以下 以第一学期的为例，原始分数高于88.13的认定为优秀，而低于60.30的认定为不合格，但在这种评定标准中优秀与不合格所占比例较小，大部分的人集中在中等层次，从来相对于一般的评定标准更多的人上升到了合格或中等。但这一评定标准是建立在整体成绩为正态分布的基础上的，从而当出现因为试卷人为的过于简单而了导致大量学生的成绩偏高时，运用该评定方法则可以提高不合格或合格的分数线，维持整体的正态分布，从而保证了评价的合理、公平。
问题三：预测学生后两学期的学习状况 模型一：多元线性回归法预测模型
先算得四个学期的成绩之间的相关系数如下表所示： 学期1 学期2 学期3 学期4 学期1 1.000 0.7642 0.7112 0.6200 学期2 0.7642 1.000 0.6877 0.6511 学期3 0.7112 0.6877 1.000 0.7745 学期4 0.6200 0.6511 0.7745 1.000
14
由上表数据可发现，相关系数均大于0.5，说明不同学期之间的成绩具有高相关度，说明可以进行线性回归预测。
?i,j为第i个学生第j学期的预假设同学成绩无太大的波动性，波动范围合理。 记x测成绩，建立如下多元线性回归方程：
?i,j?ax0?bx0?cx0?d xi,j?1i,j?2i,j?3利用附件提供的前三个学期的成绩，可以算得第四个学期的成绩的预测值，所以，
用最小二乘拟合求解系数a,b,c,d.。再分别取j=5和j=6，就可以预测算得第5，6学期的学生成绩。运用MATLAB软件对这些数据进行分析系数的求解(程序见附件),所得回归方程为
?i,j?0.6961*x0?0.2068*x0?0.0225*x0?7.119 xi,j?1i,j?2i,j?2从上式可发现，系数值依次递减，说明第4 学期的成绩受第3学期影响最大，
随时间差的增大，影响力减小。图6给出了采用前三学期原始成绩预测的第四学期成绩的残差，可见大部分预测值与真实值之间的偏差小于10 分，只是对于极少部分成绩较差的学生预测的偏差还较大，因为这部分同学的成绩波动较大，不能按照线性回归来预测其成绩。
为了更精确的预测学生成绩，我们剔除一些成绩波动较大的学生的成绩，然后再次进行多元线性回归预测。如成绩变化太过悬殊及出现成绩为0的都先不考虑。最终我们剔除了序号为8，11，26，43，62，67，90，121， 181，231，249，264，267，273，288，301，307，466，491，536，557，565这些同学的成绩数据，再求解线性回归方程的系数，求得的多元线性回归方程如下并得残差分析图7：（求解的程序见附件）
?i,j?0.6205*x0?0.2164*x0?0.0034*x0?14.2833 xi,j?1i,j?2i,j?2
运用此式可以计算出第5，6学期的学生成绩，如下表： 学生序号 第5学期成绩 第6学期成绩 1 77.871 79.008 2 77.915 78.552 3 71.637 73.403 4 80.736 81.620 5 82.473 83.219 6 75.496 76.557 ··················· 609 82.081 82.972 610 81.611 82.077 611 84.252 85.008 612 74.805 76.412
15