在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴 设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c?0）.
则F1(?c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a?2c)（常数）
?P??PPF1?PF2?2a?
又?PF1?(x?c)?y，
F1OF222yPx?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a，
化简，得 (a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)，
22由定义2a?2c,?a?c?0
222222令?a?c?b代入，得 bx?ay?ab，
222x2y2两边同除ab得 2?2?1
ab22此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(?c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a?c?b 222注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成F1(0,?c),F2(0,c),
x2y2只要将方程2?2?1中的x,y调换，即可得
aby2x2??1，也是椭圆的标准方程 a2b2yPF2OF1理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，
xx2y2y2x2且两焦点的中点为坐标原点；在2?2?1与2?2?1这
abab两个标准方程中，都有a?b?0的要求，如方程
x2y2??1(m?0,n?0,m?n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mn
xyx2y2可与直线截距式??1类比，如2?2?1中，由于a?b，所以在x轴上的“截距”
abab更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小) 三、讲解范例：
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离 之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（?35,） 22解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2 2?2?1 (a?b?0)
ab?2a?10,2c?8?a?5,c?4?b2?a2?c2?52?42?9x2y2??1 所以所求椭圆标准方程为
259
⑵ 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
y2x2??1 (a?b?0) a2b2由椭圆的定义知，
35352a?(?)2?(?2)2＋(?)2?(?2)2
2222 ?3110?10?210 22?a?10 又c?2
?b2?a2?c2?10?4?6
y2x2??1 所以所求标准方程为
106另法：∵ b?a?c?a?4
222235y2x2?1，后将点（?,）的坐标代入可求出a，从而求∴可设所求方程2?222aa?4出椭圆方程 点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：
x2y2??1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） 1 椭圆
259?A.5 ?B.6 ?C.4 ?D.10
x2y2??1的焦点坐标是（ ） 2.椭圆
25169?A.(±5，0)? B.(0，±5) ?C.(0，±12)? D.(±12，0)
x2y2?2?1，焦点在x轴上，则其焦距为（ ） 3.已知椭圆的方程为
8m?A.28?m2? B.222?m ?C.2m2?8? D.2m?22 4.a?6,c?1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 x2?5.方程3y2sin(2???4?1表示椭圆，则?的取值范围是（ ） )?Ａ.??? Ｃ.??参考答案：
?8??????3??3?(k∈Ｚ） Ｂ.?k?????k??8883??3?(k∈Ｚ） Ｄ. 2k?????2k??888?8y2x2??1 5. Ｂ? 1.A?2.C?3.A?4.
3635五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a?2c?0；
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定； ③a、b、c的几何意义 六、课后作业：
1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值
x2y2x2y2x2y2??1；②??1；③??1；④4y2?9x2?36 ①224242
答案：①表示园；②是椭圆a?2,b?22,c?2；
2x2y2③不是椭圆（是双曲线）；④4y?9x?36可以表示为2?2?1 ，是椭圆，
23a?3,b?2,c?5 x2y2??1的焦距是 ，2 椭圆焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，169则?F2CD的周长为 答案：2c?27;F1(?7,0),F2(7,0);4a?16 3． 方程4x2?ky2?1的曲线是焦点在y上的椭圆 ，求k的取值范围 答案：0?k?4 224 化简方程：x?(y?3)?x2?(y?3)2?10 x2y2??1 答案：
1625x2y2??1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是 5 椭圆
10036 答案：4
6 动点P到两定点F1 (-4,0)，F2 (4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为 _______ 答案：是线段F1F2，即y?0(?4?x?4) 七、板书设计（略） 八、课后记：
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)
x2y2y2x2??1；??1）(1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案： 1692521(2) 已知三角形ΔABC的一边?长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程 解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程
x2y2??1 为：
2516若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，
x2y2??1 其方程为：
1625
2．1．1椭圆及其标准方程（二）
教学目的：
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程 教学难点：待定系数法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨
迹上任意点到两定点距离和确定 PF1F2在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较（?线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆）扁椭圆的
形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.椭圆标准方程： yPF1OF2x2y2（1）2?2?1 abx它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是
F1(?c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中
a2?c2?b2 yPF2OF1y2x2（2）2?2?1 ab它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点是
xF1(0,?c),F2(0,c),中心在坐标原点的椭圆方程 其
中a?c?b 222
所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在