二、讲解范例：
例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点M的坐标为
1，求点M的轨迹） 2(x,y)，则P的坐标为(x,2y)
yPM因为点P在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
x2?y2?1 所以有 x?(2y)?4，即 422-2OP′2xx2?y2?1 所以点M的轨迹是椭圆，方程是4（2）当M分 PPˊ之比为的坐标为(x,1时，设动点M的坐标为(x,y)，则P23y) 2PM-2OP′2x因为点P在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
32x29y2??1 所以有 x?(y)?4，即
24162x29y2??1 所以点M的轨迹是椭圆，方程是416x2?y2?1上的动点，求AQ中点M的轨迹例2 已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆4方程 解：设动点M的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2x?1,2y)
因为点Q为椭圆
x?y2?1上的点， 4-22yQMOA2x1(2x?1)2?(2y)2?1，即(x?)2?4y2?1 所以有
24所以点M的轨迹方程是(x?)?4y?1 1222例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比为求点M的轨迹方程 2，3解：设动点M的坐标为(x,y)，则A的坐标为(x,0) B的坐标为(0,535y) 2
因为|AB|?2，
y5252252252x?y?4 所以有 (x)?(y)?4，即
3294所以点M的轨迹方程是
BMOAx252252x?y?4 94例4 已知定圆x2?y?6x?55?0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根
yMPOQr＝8据图形，用数学符号表示此结论：MQ?8?MP 上式可以变形为MQ?MP?8，又因为
xPQ?6?8，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：?x?3??y2?64
2圆心Q(3，0)，r?8，所以P在定圆内 设动圆圆心为M(x,y)，则MP为半径 又圆M
和圆Q内切，所以MQ?8?MP，
即 MQ?MP?8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以2a?8，
x2y2b?7，故动圆圆心M的轨迹方程是：??1 1672三、课堂练习：
x2y2??1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的（1）已知椭圆
2516距离是 （ ）?
A.2 B.3 C.5 D.7? 答案：D?
x2y2??1,那么它的焦距是 （ ）? （2）已知椭圆方程为
2011A.6 B.3 C.331 D.31 答案：A?
（3）如果方程x?ky?2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.（0，+∞） B.(0,2)?C.(1,+∞) D.(0,1)? 答案：D?
22(4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（
53,?），则椭圆22x2y2??1 标准方程是_____? 答案：
106
x2y2（5）过点A（-1，-2）且与椭圆??1的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答
69x2y2??1 案：36（6）过点P（3，-2），Q（-23，1）两点的椭圆标准方程是______ x2y2答案：??1 255四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运
动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系
五、课后作业：
1．已知圆x2?y2＝１，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.
选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.
解：设点M的坐标为(x,y)，则点P的坐标为(2x,y).
x2?y2?1. ∵P在圆x?y?1上，∴(2x)?y?1，即142222∴点M的轨迹是一个椭圆4x?y?1
2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-求顶点A的轨迹方程.?
选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.
解：设顶点A的坐标为(x,y). 依题意得
224，9y?6y?64???， xx9x2y2??1(y??6). ∴顶点A的轨迹方程为
8136x2y2??1对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与说明：方程
8136(0，6)应舍去.
3．已知椭圆的焦点是F1(?1,0),F2(1,0)，Ｐ为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜
PF2｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2.
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜PF2｜＝２｜F1F2｜＝4 1｜＋｜PF∴2a?4， 2c=2， ∴ｂ＝3
yPx2y2??1. ∴椭圆的方程为43（２）设∠F1PF2??，则∠PF2F1＝60°－θ 由正弦定理得：
F1OF2xF1F2sin?F1F2sin?4??PF2sin120??PF1sin(60???)
由等比定理得：
PF1?PF2sin120??sin(60???)
?2?sin?3?sin(60???)2整理得：5sin??3(1?cos?) ?35?53. tanF1PF2?tan??3111?252?sin?3?3故tan? ?221?cos?5说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答 六、板书设计（略） 七、课后记： 2．1．2椭圆的简单几何性质（一）
教学目的：
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2．掌握标准方程中a,b,c的几何意义，以及a,b,c,e的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为
系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力 本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程： 一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 x2y2y2x22．标准方程：2?2?1，2?2?1 （a?b?0）
abab
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？?
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么？其图形位置是怎样的？?
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？?