内蒙古科技大学考试标准答案及评分标准
内蒙古科技大学2006 /2007 学年第二学期 课程名称：《线性代数》B卷 课程号：10132105
考试班级：06级(本科) 工科各专业
考试方式： 闭卷
考试时间：2007年 月 日 时 分至 时 分 标准制订人 :何林山
一 填空（每空3分共24分）
?3??0若A??0??0?2021T33?121
2??2?T，则行列式|A|= 12 ，|A|= 144 ； A0??1??TT2 向量组：e1?(1,1,1),e2?(0,1,1)，e3?(0,0,1)是线性 无 关的，而
TT向量组：e1?(1,1,1),e2?(0,1,1)，e3?(0,0,1)， ?TT?(b1,b2,b3)是线性
相 关的。
?a11?3 设A=?...?a?n1.........a1n??x1??b1??????...?， x????，b??
?????ann??b??xn??n?如果行列式|A|?0，则秩R（A，b）= n ，并且非齐次线性方程组Ax?b有 唯一 解（填唯一或无穷多）。
4.设两向量：?T?(1,2,x),?T?(2,4,?1),如果?T，?T线性相关，则x??如果?，?正交，则x? 10 。
TT12，
二 选择题（共4题，每题4分，共16分） 1 设A是可逆n阶方阵，下面结论不正确的是
： B 。
A. 行列式A?0 B. A相似于对角矩阵
C. 存在B使BA?E D. A的n个列向量线性无关
2设A、B是已知的n 阶方矩阵，X是未知矩阵，且|A|?0 ，则矩阵方程AX=B中的未知矩阵X= B 。
A.BA?1 B.A?1B C.B?1A D.A?1 3设齐次线性方程组A４?5x?O 的基础解系含有2个向量， 则秩R（A）= D 。
A.0 B. 1 C.2 D .3 .
4设A是m?n的矩阵，齐次线性方程组Ax?O只有零解的充要条件是 A A． A的n个列向量线性无关 B. A的n个列向量线性相关 C. A的m个行向量线性无关 D. A的m个行向量线性相关 三 计算题（共2题，每题10分,共20分）
?001?1设A???021?? 求 A+AT , A?1。 ??321??解
?01??04?A?AT??0?021??003????022???0???043?? ?????5分??321????111????432???01100?21001?20??A,E???010?021 010??3??r???r??31?021 010?rr?31?3??r???2?r3??020 ?11??321001????001100????00110?3000?11??11000?1r1?313???r???1?r2??020 ?110?1，??3?2r?2??10 ?1?2120??001100??0???001100?????0?1313??所以 A?1???11?220? ?????5分??100???
1?0??0??
2 设P????1?4????0?矩阵A由方程P?1AP?D确定，求A3。
?11?,D???1???02??, ?解 由P?1AP?D两边左乘P右乘P?1，得A?PDP?1A3?（PDP?1）（PDP?1）（PDP?1）?PD3P?1其中D3????10????10?0?0???10???????10??02?????02?????1???02?????1???04??????02????08???P?1????1?4??14??1???1?
?1?3?1???1?1???于是A3????1?4?0?1?4????1??1?32?4??11???1?????08??3?1????1?1??3???18????1????1?1??? ?1?3336?3????1112???9?12???????3?4???????10分?
四 解答题（共2题，每题10分,共20分）
1 设向量组 ?T1?(1,?2,1，0),?T,1,0，1),?T3?(1,0,3，?1),?T2?(?2?(0,?4,6,1) 问?T能否由?TT1，?2，?T3线性表示？若能，求出表示式。 解 设?1x1??2x2??3x3??，则增广矩阵??1?210??210?B???210?4??1?rr??32?4????1036??r2?21?3??r1??0????0226???01?11????01?11????1?210??210??1?21?01?11???1?r?2??r1??r1?11???1?1?226??r3?2r?4??3r22??0??0?0044?????0????001?0?32?4?????00?1?1????000因为R（?1,?2,?3)?R（?1,?2,?3,?)?3,可以线性表示。
0?1??1??0??
?1??0?0??0??21001?1100??1??r1?r31?r?r?023?????01?????00???21000010?1??1??2?r?2r?012?????01?????00??010000103??2?1??0??所以??3?1?2?2??3??????10分
?x1?2x2?3x3?0?2 ?为何值时齐次线性方程组?2x1?x2??x3?0 有非零解，并且求全部解。
?3x?x?x?023?1?1?A??2?3?2?113??1??r??????0?0?1???2?5?5??1??r??6?????0?0?10???32?50????6??4????3解 系数阵???4时R（A）?2齐次线性组有非零解。上面代入???4为?1??0?0?2?503??1??r?10?????0?00???010?1??2?0???x1?x3?1????得?x2??2x3取基础解为????2?，全部解??c?,其中c为任意常数。….10分 ?x?x?1?3?3??
五（本题（1）4分，（2）10分，共14分）
?2?设A= ?0?0?0120??x1????2?，x??x2?
?x?1???3?0120??x1??2??x2?1???x3??x1????2x2?x3??x2????2x1，x2?2x3，??x?， ??3??2?T（1）解 xAx?（x1，x2，x3）?0?0?222?2x1?x2?x3?4x2x3?????4分
(2) 解 求A的特征值
2??A??E?0001??2021???(2??)(1??)?4?2?
?(2??)??2??3?(??1)(??3)(2??)?0得特征值???1，??2，??3?2?
???1 时对应的齐次方程（?3?A?E??0?0?0220??1?r?2?????0?02???010A??E）x?0的系数阵0??1?，得基础解0???0????1??1?
??1???也是???1的特征向量，全部特征向量为k?（k?0）。1
??2 时对应的齐次方程（?0?A?2E??0?0?0?12A??E）x?0的系数阵0?100??0?r?2?????0?03???0100??0?，得基础解1???1?????0? ?0???0??0?r?2?????0?0?1????2也是??2的特征向量，全部特征向量为k?（k?0）2
??3 时对应的齐次方程（??1?A?3E??0?0?0?22A??E）x?0的系数阵0100???1?，得基础解0???0????3??1??1???0??1?r?2?????0?0?2???
也是??3的特征向量，全部特征向量为k?（k?0）。?????10分3
六（本题6分）n阶方阵A的特征值?,对应两个线性无关的特征向量是p1、p2， 证明k1p1?k2p2(k1,k2是不同时为零的任意常数）也是?对应的特征向量。 解 由题意知Ap1??p1，Ap2??p2那么 A（k1p1?k2p1）?A（k1p1）?A（k2p1） ?k1Ap1?k2Ap1?k1?p1?k2?p1??（k1p1?k2p1）所以k1p1?k2p也是?对应的特征向量。?????6分