内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期《线性代数》考试试题
课程号：10132105
考试方式：闭卷
使用专业、年级：2007级工科各专业
任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，张景，何莉敏，侯玉双,赵利云 一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分） 1. 排列a12a23a34?an?1,nan1 的符号为 （ ）
（A） ?1 （B） ?1 （C） ??1?n （D） ??1?n?1
2.如果已知矩阵Am?n,Bn?m(m?n)，则下列（ ）运算结果不是n阶矩阵.
（A） BA （B）AB （C）(BA)T （D）ATBT
3. 向量组A: ?1,?2...?r(r?2)线性相关的充要条件是( )
（A）A中至少有一个零向量 （B）A中至少有两个向量成比例
（C）A中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D）A中至少有一部分线性相关 4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ）
（A）A?0 （B）A?0 （C）A?O （D）A?O
5. 设???1，?2是对称阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若（ 时，则p??1与p2正交
（A）?1??2 （B）?1??2 （C）?为任意实数 （D）?1??22
）
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 设A为3?3矩阵，B为4?4矩阵，且A?1,B?2,则BA?________
?21?2. 设A??02??0010?2??1，则 A?1?________ ?1??3. 已知四阶行列式D中第三列元素依次为?1,2,0,1，他们的代数余子式依次为5,?3,?7,?4，则D=
4. 已知4阶矩阵A的秩r(A)=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系含____个线性无关的解向量；
5. 二次型f(x1,x2x3)?2x12?3x22?3x32?4x2x3的矩阵是_______ 三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
a0ba0b??00001. ??????.
0b0000??a0ba15102713381642.已知行列式D?121.计算：A41?A42?A43?A44的值
四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
?3?1.已知A???1?0?1240??1??1,B?2???02????1300??0，求（1）BTAT （2）A2?B2 ?1??
2. 求解矩阵方程???1??14??X?2??2???1?0??3????1???01???1??
五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示
?1??4??1????2?????1?????3? ?1=??,?2=??,?3=??,
?1???5???4?????3????6????7????????六、计算题（14分）
?x1?2x2?x3?x4?0?1．求齐次线性方程组 ?3x1?6x2?x3?3x4?0的通解
?5x?10x?x?5x?0234?1?x1?x2?x2?x4?x5?1??3x1?2x2?x3?x4?3x5?a2．a、b取什么值时，线性方程组? 有解？对于有
x?2x?2x?6x?32345??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b?解的情形，求出它的全部解。 七、计算题（10分）
?4?设A??0?0?0310??1,求正交矩阵P,使得P?1AP?? ?3??八、证明题（4分）
证明：若A为非奇异对称矩阵，则A,AA也为对称矩阵.
?1T内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准
课程名称：《线性代数》(A卷)
使用专业、年级：工科各专业，2007级
考试时间：2008年7月11日
标准制订人：公共数学教学部
一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）
1.下面结论一定正确的是( C )
（A）若方阵A的行列式A?0，则A?O（B）若A2?0，则A?O （C）若A为对称阵，则A2也是对称阵 （D）对于任意的同阶方阵A,B有?A?B??A?B??A?B
222.有矩阵A3?2,B2?3,C3?3,则下列运算可行的是（ D ） （A） AC （B） AB?BC （C） CB （D） BC
3.设有r个n维向量构成向量组A:a1,a2,?,ar，下列叙述正确的是（ B ） （A）若k1a1?k2a2???krar?0，则向量组A线性相关； （B）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,kr，
都有k1a1?k2a2???krar?0，则向量组A线性无关；
（C）若向量组A线性无关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,kr，都有
????k1a1?k2a2???krar?0 ； ????（D）若0a1?0a2???0ar?0，则向量组A线性无关
???????????4. n阶矩阵A与实对角阵相似的充要条件是（ B ）
（A）A为实对称矩阵 （B）A有n个线性无关的特征向量 （C）A有n个特征值 （D）A为零矩阵
225. 二次型f?x1?8x1x2?5x2的矩阵是（C ）
?1? （A）2???22?502??1?0 （B）???60??2??1? （C）??5??44??1? （D）??5??17?? ?5?二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 已知a12a2ka3ia44a51是五阶行列式中带正号的项，则i? 3 ，k? 5 2. 设A为三阶行列式且A?2，则其伴随矩阵A?? 4 .
????3. 已知???3,5,7,9?,???0,1,2,0?，且x满足2??3x??，
??则x??2,3,4,6?
4.若A?B且R?A??3，则R?B?? 3 .
5.设?1,?2,??n是n阶矩阵A的特征值，则A??1?2??n
?三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
aba?baaba?baa?baba?bab?2?a?b?ba?b2?a?b?a?ba2?a?b?ab1. ba?b
解：
ba?b
1?2?a?b?ba?b1a?baa?b?a111a?b21a?b?aa?2?a?b?0b20 ?2?a?b?3a?b3?2?a?b???a?ab?b?
??2?a?b?10112101512304011111?1?1 6分
2. 已知行列式D??11?1.计算：A41?A42?A43?A44的值
101125?7?623011?000010011?1025?7 1解：A41?A42?A43?A44??111
1?000??10111110025?2?1?100001006分