四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
?103??100?1. 已知A???021??,B???021?? ??001????301??求（1）BTAT （2）A2?B2 ?103??100??1033? 解：(1)BTAT???020????020?????040?? ??011????311????331?? 3分?103??103??100??100?(2)A2?B2???021????021?????021????021?? ??001????001????301????301???106??100??006? ???043?????343??????300?? 3??001????601?????600???1?20?2. 已知AB?B?A，其中B???210??，求A ??002??解：由AB?B?A知：A?B?E??B
?0?20?0?20又B?E???200??且B?E?200?4?0 ??001??001?1?0?20???所以?B?E??1?且?B?E??1??1???00? ?2?001???????1?1?1?2?00??20???1??20???故A?B?B?E??1???210???100?????=
?1??10?? 6?002?2???001??2?????002???????
分 分
五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
?1???1??5???1?????????11?2?3????,a??? a1???,a2???,a3??4?3???1??8??1?????????13?97?????????1?1???3??1?11?135?28?9?1??1??30???1??0??7??0?12245?7?7?14?1??4? 4??8?????解：令a1,a2,a3,a4???1?0 ???0??0?12005?700?1??????4?从行阶梯形中知向量组的秩Ra1,a2,a3,a4?2 0??0?????且其一个最大无关组为 a1,a2 （答案不唯一） 5分
把行阶梯形进一步化为行最简形得 ??1???0??0???0010032?72?1??????3?7?2? 由行最简形知a3?a1?a2,a4?a1?2a2（不唯一） 3分 ?22?0?0??00六、计算题（共2题，每题7分，共14分）
?x1?8x2?10x3?2x4?0? 1．求齐次线性方程组?2x1?4x2?5x3?x4?0 的通解
?3x?8x?6x?2x?0234?1?1?解：1.由系数矩阵A??2?3??84810562??1???1?0????2???0?8203210?15?242???5 ??8??
?1? ?0??0??84010?30?12????1??0??0???0?0104?3400??1?? 4?0??知R?A??2?4，所以齐次线性方程组有无穷多解。选择自由未知量x3,x4
?x1??4x3?得同解方程组? 令x3?c1,x4?c2 31?x2?x3?x4?44??4??0??x1?????31??????x2得通解：???c1?4??c2?4?(c1,c2?R) （答案不唯一） 7分
?x3??1??0????????x4????0???1???1??3??2??5?????????????2．已知向量组A:a1??1,a2?1,a3?1，及向量b?0
?????????????0???2???3???7?????? 问向量b能否由向量组A:a1,a2,a3线性表示？若能，求出其表达式
?1?????解： a1,a2,a3,b??1???0312213??5??1??0?0??7????03422335??1??5～0???7???032023?35??7 ??9?????????由于Ra1,a2,a3?Ra1,a2,a3,b?3
????所以，向量b能否由向量组A:a1,a2,a3线性表示； ????假设存在一组数?1,?2,?3使得x1a1?x2a2?x3a3?b
???????由于Ra1,a2,a3?Ra1,a2,a3,b?3，从而此方程组有唯一解
?????????????1?2,?2??1,?3?3；即b?2a1?a2?3a3 7分
七、计算题（10分）
?1?设矩阵A???2??2?0540???2?，求： ?1??（1）A的特征值及特征向量；
（2）求相似变换矩阵P，使得P?1AP?? （3）求Ak
?1??05??40?2?1???????1?2解：（1）令A??E??2?2???3??0
得特征值为?1?3,?2??3?1 3分 ??当?1?3时，解齐次线性方程?A?3E?x?0，由 ??2? A?3E??2????20240???2r???4???1?0???00100???1 ?0???0??????得对应?1?3的特征向量p1?1 （答案不唯一）
????1????当?2??3?1时，解齐次线性方程?A?E?x?0，由 ?0? A?E??2????20440???2r???2???1?0???0?2001??0 ?0???2???1???????????得对应?2??3?1特征向量p2?1,p3?0 （答案不唯一）3分
???????0???1???0????????（2）构造相似变换矩阵P?p1,p2,p3?1???1210?1??0使得?1?????3??1PAP???0???00100??0 （答案不唯一） 2分 ?1??0100???1???10且P?1???1???1k?1?3??1（3）由（2）的结果知：PAP???0???0?122?1k2?1?2?1??1 ?2?? 所以，A?P?P,A?P?P,?,A?P?P
故
?0??1???1210?1??3??0?0??1???0k010A?P?Pkk?10???1??0?1??1???12?1?2?1??1??k1??3?1??k2?????3?102?3?12?3?1kk??k?3?1?k?3?2??0 2分 八、证明题（4
分）
设方阵A满足A2?A?2E?0，证明A可逆并求A?1. 证明：
?A2?A?2E?0
?AA?E2?E从而A可逆且A?1?A?E2
4分