内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期《线性代数》考试试题
课程号：10132105
考试方式：闭卷
使用专业、年级：2007级工科各专业
任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，何莉敏，侯玉双 一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分） 1.下面结论一定正确的是( )
（A）若方阵A的行列式A?0，则A?O （B）若A2?0，则A?O
（C）若A为对称阵，则A2也是对称阵 （D）对于任意的同阶方阵A,B有?A?B??A?B??A2?B2
2.有矩阵A3?2,B2?3,C3?3,则下列运算可行的是（ ）
（A） AC （B） AB?BC （C） CB （D） BC
3.设有r个n维向量构成向量组A:a1,a2,?,ar，下列叙述正确的是（ ）
????（A）若k1a1?k2a2???krar?0???，则向量组A线性相关；
????（B）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,kr，都有k1a1?k2a2???krar?0，
则向量组A线性无关；
（C）若向量组A线性无关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,kr，都有
????k1a1?k2a2???krar?0 ；
?（D）若0a1?0a2???0ar?0，则向量组A线性无关 4. n阶矩阵A与实对角阵相似的充要条件是（ ）
（A）A为实对称矩阵 （B）A有n个线性无关的特征向量 （C）A有n个特征值 （D）A为零矩阵 5. 二次型f?x12?8x1x2?5x22的矩阵是（ ）
?12 （A）????22?502??1?0 （B）???6?0????2???5? （C）??1?44???5? （D）??1?17???5?
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 已知a12a2ka3ia44a51是五阶行列式中带正号的项，则i? ，k? 2. 设A为三阶行列式且A?2，则其伴随矩阵A?? . ?3. 已知???3,5,7,9?,???0,1,2,0?，且x????满足2??3x???，则x? .
?4.若A?B且R?A??3，则R?B?? .
5.设?1,?2,??n是n阶矩阵A的特征值，则A? . 三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
aba?baa?bab1.
ba?b.
10112101523042.已知行列式D??11?1.计算：A41?A42?A43?A44的值
四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
?101.已知A?????00203??1?1???1?,B?0???30200??1，求（1）BTAT （2）A2?B2 ?1???122. 已知AB?B?A，其中B?????0?2100??0，求A ?2??五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无
?1???1??5???1?????????11?2?3???关组线性表示. a1???,a2???,a3???,a4???
?3???1??8??1?????????13?97????????六、计算题（共2题，每题7分，共14分）
?x1?8x2?10x3?2x4?0? 1．求齐次线性方程组?2x1?4x2?5x3?x4?0 的通解
?3x?8x?6x?2x?0234?1?1??3??2??5??????????????2．已知向量组A:a1???1?,a2??1?,a3??1?，及向量b??0?，问向量b能否由
?????0???2???3???7??向量组A:a1,a2,a3线性表示？若能，求出其表达式
???
七、计算题（10分）
?1?设矩阵A???2??2?0540???2?，求：（1）A的特征值及特征向量； （2）求相似变换?1??矩阵P，使得P?1AP??，（3）求Ak 八、证明题（4分）
设方阵A满足A2?A?2E?0，证明A可逆并求A?1.
内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准
课程名称：《线性代数》(B卷)
使用专业、年级：工科各专业，2007级 考试时间：2008年月日 标准制订人：公共数学教学部
一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）
1. 排列a12a23a34?an?1,nan1 的符号为 （ D ）
n
n?1（A） ? （B） ? （C） ??1? （D） ??1?
2.如果已知矩阵Am?n,Bn?m(m?n)，则下列（B ）运算结果不是n阶矩阵. （A） BA （B）AB （C）(BA) （D）ATBT 3. 向量组A: ?1,?2...?r(r?2)线性相关的充要条件是( C ) （A）A中至少有一个零向量 （B）A中至少有两个向量成比例
（C）A中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D）A中至少有一部分线性相关
4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ A ）
（A）A?0 （B）A?0 （C）A?O （D）A?O
??5. 设?1，?2是对称阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，
??若（ A ）时，则p1与p2正交
T （A）?1??2 （B）?1??2 （C）?为任意实数 （D）?1??2
2
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 设A为3?3矩阵，B为4?4矩阵，且A?1,B?2,则BA?___8_____ ?21?02. 设A?2??0?010?2??1???11，则A?0????1??00202???2 ?2??3. 已知四阶行列式D中第三列元素依次为?1,2,0,1，他们的代数余子式依次为
5,?3,?7,?4，则D= -15
4. 已知4阶矩阵A的秩r(A)=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系含__1__个线性无关的解向量；
?2?22?3x3?4x2x3的矩阵是05. 二次型f(x1,x2x3)?2x12?3x2???00320??2 ?3??三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
a0ba?000b?00a?????ba?000?a0????00?a?b(?1)n?100?. baba0b?0000?????ba0b0000?a?b 6分
nn1. ?0b解：原式?a0?015102713318164510171318161?0 6分
2.已知行列式D?121.计算：A41?A42?A43?A44的值
解：A41?A42?A43?A44?121四、计算题（共2题，每题6分，共12分）