高中数学希望杯典型例题100道（11-20）
题11 使不等式2?a?arccosx的解是?x1?x?1的实数a的取值范围是（ ） 2A、1??2 B、
22?25?1 C、 D、?? ??26232（第十一届高二第一试第6题）
解法1 由已知可知2?arccosx?a的解集是??x?1?，1?.在此区间上函数?2??1?f?x??2x?arccosx是单调增的.因此a的值应当满足关系f????a,
?2??a?2?1222??1??arccos?????.选B.
223??x解法2 原不等式同解于a?2?arccosx，因为?21?2x?2, ?x?1，所以22?22?22?2???2x?arccosx?2,?a??.故选B. ??arccosx?0，从而23233 评析 上述两种解法的实质是一回事.
关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析. 一篇文章认为：“由已知不等式得a?2?arccosx，欲使其解为?x1?x?1，实际上是对2?1??1?x???，1?的任何x，a?2x?arccosx恒成立，而y?2x?arccosx在??，1?上是增函数，
22?????22?1?1?2y?2?arccos?????所以当x??时，min.故选B.”
2232??1另一篇文章在介绍了“设m?f?x??n,则a?f?x??a?f?x?max?n;a?f?x??
xa?f?x?min?m”后分析道：“令f?x??2?arccosx，当?22?1??f?x? ?x?1时，232?2，又a?f?x?，故a?
22??，选B. ” 231
还有一篇文章干脆将题目改为： 使不等式2?a?arccosx的解是? A、???，1?x1?x?1的实数a的取值范围是（ ） 2???22??? ?23??????2?? B、???，?25??1??? D、? C、??，???，???? ??262????并作了如下解答：
“由已知得a?2?arccosx，记f?x??2?arccosx，因为x在??xx?1?，1?时，f?x?单调?2?增，所以ymin?2?1222?22??1??arccos????.因此，a?.选B.” ??2323?2?x首先应当指出，第一、第三篇文章中说增函数f?x??2?arccosx在???1?，1?上的最小值?2?是
22??是明显错误的. 23这三篇文章共同的观点是“不等式2?a?arccosx的解是?x1?x?1”等价于“对2?1??1?x???，1?的任何x，a?2x?arccosx恒成立”.按此观点，应当有a?f???，题目就错了
?2??2?（选择支中没有正确答案），又怎么能选B呢？第三篇文章也将题目改错了（选择支中同样没有正确答案）.
问题的关键在于“不等式2?a?arccosx的解是?x1?1?1?的任何?x?1”与“对x???，2?2?x，a?2x?arccosx恒成立”到底是否等价.
为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了. 不等式x?2x?a?0的解集是??1,3?，求a的取值范围.
2如果认为它等价于“x???1,3?时，不等式x?2x?a?0恒成立，求a的取值范围”，就
2会这样解：
2
2??x?2x?1??x?1?在??1,3?上的最小值是 由x?2x?a?0得a??x?2x，22221??3?1???3,?a??3为所求.而事实上，?8??3，但x?2x?8?0的解集却不是??1,3?，
2而是??2,4?，可见两者并不等价.
至此，我们可以得出结论：“关于x的不等式a?f?x?的解集是D”与“x?D时，关于x的不等式a?f?x?恒成立”不一定是等价的.
题12 已知a,b是正数，并且a1998?b1998?a1996?b1996，求证a2?b2?2.
(第十届高一培训题第74题)
证法1 若a与b中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然a?b?2. 若a?b且b?1,可将a199822?b1998?a1996?b1996改写为a1996?a2?1??b1996?1?b2?,由此
1996a2?1?b?2推得0?b?1(若b?1,则a?1?0,得a?1,这与a?b矛盾),由此得???1?b2?a?,?
b?b?0??1,0???a?a?证法2 2a1996a2?122?1,??1,得 a?b?2. 21?b?1998?b1998???a2?b2??a1996?b1996??a1998?a2b1996?a1996b2?b1998?
?a2?b2??a1996?b1996?.?a2?b2与a1996?b1996同号,? ?a2?b2??a1996?b1996??0,
?2?a1998?b1998???a2?b2??a1996?b1996?.?a1998?b1998?a1996?b1996?0,?a2?b2?2.
证法3 由a1998?b1998?a1996?b1996及a,b?R,得a?b?22?a?1996?b1996??a2?b2?a1998?b1998
a1998?b1998?a1996b2?a2b1996a1996b2?a2b1996199622199619981998??1?.?ab?ab?a?b 1998199819981998a?ba?b???a2?b2??a1996?b1996?,又a2?b2与a1996?b1996同号,???a2?b2??a1996?b1996??0,
a1996b2?a2b1996??1,?a2?b2?2. 19981998a?b评析 解决本题的关键在于如何利用已知条件.
3
证法1通过分类讨论证得a?b?2,较繁.由于a221998?b1998?a1996?b1996,故证法2作差
2a1998?b1998?a2?b2a1996?b1996,只要此差大于等于0命题便获证.而证法3将a2?b2表
???????a示成
1996?b1996a2?b2①,便将问题转化成证①式小于等于2.证法2,3的作法既有技巧性,
a1998?b1998???又有前瞻性,简洁明了.
拓展 本题可作如下推广
推广1 设a,b?R,且a推广2 设a,b?R,且a推广3 设a,b?R,且a1998?b1998?a1996?b1996,则a2?b2?2.
?b2n?2?a2n?b2n,其中n?N?,则a2?b2?2. ?b2m?2n?a2m?b2m,其中m,n?N?,则a2n?b2n?2.. ?Bb2m?2n?Aa2m?Bb2m,其中m,n?N?,
2n?22m?2n推广4 设a,b?R,且Aa2m?2nA,B?R?,A?B?1,则Aa2n?Bb2n?1②.
由于推广1，2，3都是推广4的特例，故下面证明推广4. 证明 ⑴当a?b?0时，②式显然成立. ⑵当a,b不全为零，有
?A?B??Aa2m?2n?Bb2m?2n???Aa2m?Bb2m??Aa2n?Bb2n??AB?a2m?2n?a2mb2n?a2nb2m?b2m?2n??AB?a2m?b2m??a2n?b2n?.?a2m?b2m与
a2n?b2n同号，?AB?a2m?b2m??a2n?b2n??0,??A?B??Aa2m?2n?Bb2m?2n?
??Aa2m?Bb2m??Aa2n?Bb2n?.?Aa2m?2n?Bb2m?2n?Aa2m?Bb2m?0,?Aa2n?Bb2n?A?B?1.即当a,b不全为零时，②式也成立.综上，不等式②成立.
推广5 设a,b?R，且a推广6 设a,b?R，且a???m?n?bm?n?am?bm，其中m,n?Z,mn?0，则an?bn?2. ?bm?n?am?bm，其中m,n?R,mn?0，则an?bn?2. ?Bbm?n?Aam?Bbm，
nnm?n推广7 设a,b?R，且Aa?m?n其中m,n?R,mn?0,A,B?R,A?B?1，则Aa?Bb?1③.
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由于推广5，6是推广7的特殊情形，故下面证明推广7. 证明 ?A?B?Aa?m?n?Bbm?n???Aam?Bbm??Aan?Bbn?
?AB?am?n?ambn?anbm?bm?n??AB?am?bm??an?bn?.?mn?0.由幂函数的性质，可知
am?bm与an?bn同号，
?AB?am?bm??an?bn??0,??A?B??Aam?n?Bbm?n???Aam?Bbm??Aan?Bbn?.
?Aam?n?Bbm?n?Aam?Bbm?0,?Aan?Bbn?A?B?1.即不等式③成立.
从变元个数进行推广可得
推广8 设xi?R?i?1,2,?,k?，且?xi?km?ni?1k其中m,n?R,mn?0,则?xi?k. ??xi，
i?1i?1km?nkmkn推广9 设xi,Ai?R?i?1,2,?,k?,?Ai?1，且?Aixi?i?1i?1??Aixi，
i?1km其中m,n?R,mn?0,则
?Axii?1kni?1④.
由于推广8是推广9的特例,故下面证明推广9. 证明 令??kk?A?Axii?1i?1kkm?nii??Aixi??Aixin
mi?1i?1kk??Ai?Ajxji?1j?1m?n??Aixii?1km?Axjj?1knj??i?1nk?AAx??xnijjj?1kmj?xi.由下标的对称性,对换上
m?式的下标,得??kk?i?1k?AiAjxixi?xj..将上面两式相加,得
mmj?1mmnnk??2???i?1?AA?xijj?1mi?xjm??xin?xjn?.?mn?0,由幂函数性质知xi?xj与xi?xj同
n号, AiAjxi?xjk?mm??xi?xjn??0,?2??0,
即??0,?k?Ai?Aixii?1i?1kkm?n??Aixi??Aixi,??Aiximni?1i?1i?1kkkm?n??Aixi?0,
mi?1k??Aixi??Ai?1,即不等式④成立.
ni?1i?1 5