?ab??(x?y)????(a??xy????b)，即x?y?a?b?2ab，当且仅当m、n共线，即当
2?ab?x(x,y)???,?，亦即
?xy??y??a时取等号，?(x?y)min?a?b?2ab. b?a解法4 x?y?(x?y)???xb?????y???a?x?x?b?y??(?y?2?a2)b??a?b2, abx2axy当且仅当?，即2?时取等号，?(x?y)min?a?b?2ab.
abbyxy解法5 设x?y?k，即y?k?x，代入
ab??1，得x2?(b?a?k)x?ka?0， xy．由??0，求得?x?R?，由??0，得k?a?b?2ab或k?a?b?2ab（舍去）
x?a(a?b)，y?k?x?b(a?b)，?x?ya时，(x?y)min?a?b?2ab. b解法6 x,y,a,b?R且
?abba??1?0??1，0??1?x?a?0，y?b?0,
yxyxab??1，得???ab（定值），xy故设x?a??，y?b??(?,??0)代入
?x?y?a?b?????a?b?2???a?b?2ab，当且仅当????ab，即
xa?ab??yb?aba时取等号，?(x?y)min?a?b?2ab. b解法7 由解法6知x?a?0，y?b?0，记k?x?y①，由
abbx， ??1，得y?xyx?a代入①可得k?(x?a)?ab?(a?b)?a?b?2ab，当且仅当 x?aab??x?a?x?a，即x?a?ab时取等号，此时y?b?ab， ???x?a?0
26
?当
x?ya时 ，(x?y)min?a?b?2ab. b解法8 如图，在平面直角坐标系XOY中，由己知条件x,y,a,b?R及
?abXY??1知直线??1过第一象xyxy限内的定点P(a,b)，x?y便是该直线在两坐标轴上的截距之和. 如图所示，设?BAO??，则?BPC??，由图可知
A(x,0)，B(0,y)，x?OA?a?bcot?，
y?OB?b?atan?．?x?y?a?b?bcot??atan??a?b?2ab，当且仅当
bcot??a，即tan??b时取等号，?(x?y)min?a?b?2ab. a解法9 在平面直角坐标系XOY中，设过定点P(a,b)的直线方程为Y?b?k(X?a)，易求得直线在X轴与Y轴上的截距分别为x?a?b，y?b?ak， kb?b??x?y?a?b?????(?ka)．?k?0，???0，?ka?0，
k?k?b??ka??bb???2故x?y?a?b?2???(?ka)?a?b?2ab，当且仅当?k，k?时取等号，
a?k???k?0?(x?y)min?a?b?2ab.
解法10 由己知，得bx?ay?xy?0，即xy?bx?ay?0，?xy?bx?ay?ab?ab,即
(x?a)(y?b)?ab，又由bx?xy?ay?y(x?a)，ay?xy?bx?x(y?b)得x?a?0，y?b?0．
如图，设四边形ABCD是长方形，令AD=x?a，AB=y?b，则SABCD?ab（定值），由于面积为定值的长方形中，正方形的周长最小，于是可得x?a?y?b?ab，
27
x?a?ab，y?b?ab，?x?y?a?b?2ab，当且仅当x?a?ab，y?b?ab时，(x?y)min?a?b?2ab.
评析 考虑到x,y,a,b?R且
?ab??1，解法1运用三角代换，是常用方法. 两个正数的xy?ab???，使之可运用这一结论求最值，xy??积为定值，则和有最小值，解法2将x?y改写成(x?y)?这是一种常用的技巧.解法3构造向量求最值，使得新教材中向量这一工具得到应用，虽然解法并
不很简单，但其意义仍不应低估.柯西不等式在数学竞赛中占有很重要的地位，解法4表明，运用柯西不等式解题十分方便.解法7表明，运用均值不等式求最值，应注意“一正二定三相等” ，重视配凑技巧的运用．
美国著名数学教育家玻利亚说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”．解法8、9、10正是这样做的．充分挖掘代数问题的几何背景，构造适当几何图形，运用数形结合的思想，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力．
拓展 此题可作推广：
推广 己知正常数a1,a2,???,an，以及正实数x1,x2,???,xn（n?N,n?2），
xaxxaa且1?2?????n?1，则当且仅当1? 2????n时，x1?x2?????xn取得最小值
a2ana1x2x2xn(a1?a2?????an)2．
读者可参照解法4，利用柯西不等式自己证明该推广，此处不再赘述．
题19 如果a?b?c?1，那么3a?1?3b?1?3c?1的最大值是_______．
(第八届高二第一试第19题)
解法1 设x?22223a?1，y?3b?1，z?3c?1，t?x?y?z，则 t?x?y?z
222?2xy?2yz?2zx?3(x2?y2?z2)?3(3a?1?3b?1?3c?1)?3[3(a?b?c)?3]?18， ?t?32，当且仅当a?b?c?解法2 ??1时取等号，?(3a?1?3b?1?3c?1)max?32 ． 3c3??1????2?3a?1??3b?1?3?3a?1???23b?1?3??2c3??12?a3?(b?c?)3 3?2，得3a?1?3b?1?3c?1 ?32，当且仅当a?b?c?
28
1时取等号． 3?(3a?1?3b?a?3c?1)max?32．
22解法3 由(3a?1?3b?1?3c?1)?(1?3a?1?1?3b?1?1?3c?1)?
(11?12?12)[(3a?1)2?(3b?1)2?(3c?1)2]?3[3(a?b?c)?3]?18．得
3a?1?3b?1?3c?1?32，当且仅当a?b?c??(3a?1?3b?1?3c?1)max?32. 解法4 令a?1时取等号， 3111其中t1?t2?t3?0，则(3a?1?3b?1? ?t1，b??t2，c??t3，
3333c?1)2?(2?3t1?2?3t2?2?3t3)2?(2?3t1)?(2?3t2)?(2?3t3)?22?3t1?2?3t2?22?3t2?2?3t3?22?3t1?2?3t3?(2?3t1)?(2?3t2)?(2?3t3)?(2?3t1?2?3t2)?(2?3t2?2?3t3)?(2?3t1?2?3t3)?18?9(t1?t2?t3)?18，当且仅当t1?t2?t3?0，即a?b?c?解法5
1时取等号，?(3a?1?3b?1?3c?1)max?32． 32?2(3a?1)?2(3b?1)?2(3c?1)? ??23a?1?3b?1?3c?1 ?
?23(a?b?c)?92?2?(3a?1)2?(3b?1)2?(3c?1)??????32，当且仅当?222222???a?b?c ?1时取等号，?(3a?1?3b?1?3c?1)max?32． 322解法6 对任意t?0，有2t3a?1?t?(3a?1)，2t3b?1?t?(3b?1)，
2t3c?1?t2?(3c?1)，? 2t(3a?1?3b?1?3c?1)?3t2?3(a?b?c)?3，即
33?33?3a?1?3b?1?3c?1?t?，易知当t?2时，?t???32．
t?min2t?2?(3a?1?3b?1?3c?1)max?32（此时a?b?c?解法7 设 x?1）. 33a?1，y?3b?1，z?3c?1，则由a?b?c?1，得
x2?y2?z2?6， x2?y2?6?z2．设m?x?y?z，则x?y?m?z，又
29
(x?y)2(m?z)2222， ? 6?z ?，即3z?2mz?m?12?0①，?关于z的x?y?2222不等式①有解，???4m?4?3?(m ?12)?0，m?32，此时，由①得z?222．
?(3a?1?3b?1?3c?1)max?32．
解法8 令x?3a?1，y?3b?1，z?3c?1，则由a?b?c?1，得
x2?y2?z2?6， 即x2?y2?6?z2①，设m?x?y?z，则y??x?m?z②，方程①
表示O(0,0)为圆心，6?z为半径的圆在第一象限内的部分；方程②表示斜率为?1的直线系，当①、②表示的曲线有公共点时，直线系的纵截距的最大值为
222?6?z2，即
12?2z212?2z2m?z?2?6?z，?m? z?2?6?z?z??
22212?2z21?212?2z212?2z2?，即z?2时取等号，?3?z????32，当且仅当z?23?44??(3a?1?3b?1?3c?1)max?32（此时a?b?c?1）． 3解法9 把3a?1，3b?1，3c?1看成一组数据，其方差
1?1S??(3a?1)2?(3b?1)2?(3c?1)2?3?32??3a?1?3b?1?3c?1?
??21?1??6?3?3?2?13a?1?3b?1?3c?1?，?S2?0，?6?3???3a?1?3b?1?3c?1
?2?0，当且仅当a?b?c?1时取等号，?所求最大值为32． 322评析 破解此题的关键是设法消去求式中的根号，这样才可利用条件a?b?c?1，解法1、4、5、6利用了基本不等式2ab?a?b；解法3利用了柯西不等式
2222(a1b1?a2b2?????anbn)2?(a12?a2?????an)(b12?b2?????bn)；解法2利用了结论
a?b?c?3
a2?b2?c2，都有效地达到了消去根号的目的，当然，运用这些公式需要适当的
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