单调递减，在[k,??)上单调递增.于是关于其最值，我们有下面的
定理 已知函数f?x??x?⑴当x?m0?m?⑵当0?x?n?⑶当x?p?k?x?0,k?0?，则 x?k时，f?x?有最小值2k；
?k时，f?x?有最小值f?n?；
k时，f?x?有最小值f?p?；
⑷当q?x?rq??k?r时，f?x?有最小值2k，且有最大值max?f?q?,f?r??.
?4在?1,???上有最小值24?4；在?0,1?上有最小值x4413f?1??1??5；在?3,???上有最小值f?3??3??；在?1,3?上有最小值24?4，最大
133例如，函数f?x??x?值max?f?1?,f?3???max?5,?13???5. ?3??题17 已知x,y,z?R，且
123yz ???1，则x??的最小值是 （ ）
xyz23A、5 B、6 C、8 D、9
（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题） 解法1 ?x,y,z?R，且
?yz?yz??123?123???1，?x????x???????
23?23??xyz?xyz?y2x??z3x??2z3y??3?????????????3?2?2?2?9,当且仅当x?3,y?6,z?9时取
?2xy??3xz??3y2z?等号．故选D．
解法2 由a,x?0时有
ax??2，可知 xa1?1231?369?1?xyz?1?yz??????????2??2??2???2??x???,xyz3?xyz?3?369?9?23??x?3x6y9zyz??9，当且仅当?,?,?，即x?3,y?6,z?9时取等号．故选D ．
x3y6z923 21
解法3 x?yz?y???x??23?2?z?123yz?3x???3????3?3???3xyz23???123???9，当且仅当 xyz1231???，即x?3,y?6,z?9时取等号．故选D． xyz3解法4 由柯西不等式，x?2yz?yz??123????x??????? 23?23??xyz??1y2z3?，当且仅当x?3,y?6,z?9时取等号．故选D． ???x?x?2?y?3?z???9??解法5 利用“三个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值”，立得
x?yz?yz323? ?3，?x???9．当且仅当x?3,y?6,z?9时取等号．故选D．
123233??xyz解法6 若?、?、?是长方体一条对角线与相邻三棱所成的角，
则cos??cos??cos??1．?x,y,z?R，且
222?123???1，故不妨设 xyz1a22b23c2?,?,?（其中a、b、c是长方体的长宽高）．则xa2?b2?c2ya2?b2?c2za2?b2?c2yza2?b2?c2a2?b2?c2a2?b2?c2b2a2c2a2c2b2x??????3?2?2?2?2?2?2?3+222223abcabacbc+2+2=9，当且仅当a?b?c，即x?3,y?6,z?9时取等号．故选D．
?1??2y??3z?解法7 构造二次函数f(t)??
?xt?x?????yt?2?????zt?3?????????123?yz???????t2?2(1?1?1)t??x???，?f(t)?0,???0，
23???xyz?即6?4?x?2222??yz??123?123yz???????0，又???1,?x???9．故选D． 23??xyz?xyz23解法8 设
1y1z1123,?,m1?m2?m3?1, ?m1,?m2,?m3，则x?,?m12m23m3xyz22
?1yz11111??x??????(m1?m2?m3)?????9．故选D．
23m1m2m3mmm23??1评析 解法1、2、3、4、5、8都是利用一些重要的基本不等式解决问题的．解法6、解法7分别通过构造长方体、函数将原问题转化，根据图形特征解决问题．根据解法2的思路，很容易得下面的错误解法：
123yz1y2z3?x,y,z?R?,?,,,x,,?R?,?x??2(1),??2(2),??2(3),xyz23x2y3z?x??123?yz?1??2??3????2????2????2???6??????6?1?5, 23?x??y??z??xyz?yz????x????5．故选A．
23?min?错误原因就在于（1）、（2）、（3）式取等号的条件分别是x?1,y?2,z?3，而此时
123yz???3，与已知矛盾．故x??取不到5． xyz23拓展 本题可作如下推广：
推广1 若xi,ai?R,ai为常数(i?1,2,?,n)，且
?aa1a2????n?1， x1x2xn则??x1x2x?????n??n2．
an?min?a1a2xn?x1x2xn??a1a2an?x1x2???????????????? 证明 ?a1a2an?a1a2an??x1x2xn??n?nx1x2?xnaa?anaaa1?n?n12?n2，当且仅当1?2???n?时取等号．
a1a2?anx1x2?xnx1x2xnn?xxx???1?2???n??n2．
an?min?a1a2推广2 若xi,ai?R,ai为常数(i?1,2,?,n)，且
?aa1a2????n?k， x1x2xn 23
?x1x2xn?n2?????． 则??an?mink?a1a2证明
xxx1x21?xx????n???1?2???na1a2ank?a1a2an???k ?x??aaa1?xx???1?2???n??1?2???nk?a1a2an??x1x2xn?1x1x2?xna1a2?ann2?n?n?，当且仅???n?nkaa?axx?xk12n12n??x1x2xn?ankn2a1a2当?????时取等号．????????．
an?minkx1x2xnn?a1a2推广3 若xi,ai?R,ai为常数(i?1,2,?,n)，且则(x1?x2???xn)min?证明 ??aa1a2????n?k， x1x2xn1(a1?a2???an)2． kaa1a2????n?k,?运用柯西不等式有 x1x2xn?a1a2an?11x1?x2???xn??(x1?x2???xn)?k?(x1?x2???xn)??????kkxn??x1x2an?1a1a21???x1??x2????xn???(a1?a2???an)2， k?x1x2xn???ka1x1x1a2x2x2anxnxn2当且仅当????，即ana1a2????时取等号． x1x2xn?(x1?x2???xn)min?1(a1?a2???an)2. k根据推广1、2，立得本题所求最小值为9． 由
123111???1，得???1．根据推广3， xyzxyz23x?111yz1??，即x?3,y?6,z?9时取等号． ??(1?1?1)2?9，当且仅当yzx23123 24
yz????x????9．故选D．
23?min?再看一例：
例 已知x,y,z?R，且
?247y???5，求2x??7z的最小值． xyz4解 由
2474149???5，得???5．根据推广3，
yxyz2x7z42x?4149y1，即x?z?2,y?8时取???7z?(4?1?49)2?20．当且仅当
y2x7z454??y??7z??20． 4?min等号．??2x?题18 设x,y,a,b为正实数，a,b为常数，且
ab??1,则x?y的最小值为_______. xy（第十一届高二培训题第36题）
?a2?cos?,??x解法1 设?
b??sin2?,??y则x?y?asec??bcsc??a?b?atan??bcot?
2222?a?b?2ab，当atan2??bcot2?，即tan4???(x?y)min?a?b?2ab.
b时取等号， a?解法2 x?y?(x?ab?ayy)?????a?b?x?xy?bx??a?b2yaybx???a?b2xy, ab当且仅当
aybx时取等号,?(x?y)min?a?b?2ab. ?xy??2?2???2???ab???解法3 令m?(x,y),n???x,y??,则m?n?a?b,?m?n?m?n，
?? 25