命题8又可推广为：
xik?n?1?n?3,k?N且2?k?n?, 命题9 设x1,x2,…,xn?0,且?ki?11?xin则
?x??n?1?ii?1nnk.
11?1. 证明 题设可化为?作变换a?,则题设化为ikk1?xii?11?xin?ai?1ni?1,且
xik?1?ai1?a1a2?a3?…?an1?, ?1?, ?x1k?a1a1aiai1k1k1k??n?1?n?1a2a3…an???n?1?n?1a2a3…an??a2?a3?…?an?x1???,即有x1???,同理可???aaa?????1?11??????n?1?n?1a1a3…an得x2??a2??以上n个式子相乘，得
???n?1?n?1a1a2…an?1??,…, xn??? .
an??????1k1k?x??n?1?ii?1nnnk.
仿命题4的证法，命题9可进一步推广为：
xik?n?1 命题10 设x1,x2,…,xn?0,且?ks?xi?1i?s为正常数,k?N且2?k?n?,则?xi???s?n?1???i?1nnk. ?a2sin2题15 求所有的正实数a，使得对任意实数x都有acos2xx?2
（第十一届高二第二试第23题） 解法1 原不等式即a21?2sin2x?a2sin2x?2 ①.设a2sin22x?t，则化为at?1?t?2?0，其中
n2ist?a2sinx?[1,a2]（当a?1），t?ax?[a2,1]（当0?a?1）.①式即t2?2t?a?0.设
f(t)?t2?2t?a，由于f(t)在1与a2之间恒小于或等于零，所以f(1)?0且f(a2)?0，即
16
?a?15?1?42?a?1为所求. ?a?2a?a?0，解之，得2?a?0?解法2 ∵a?0，∴a2cosx2?a222sxin?a?21x2sin?a2x2sina?2si2nax?a2xn又2?2si，aaco2sx?a2sinx?2，∴a?1.设t?a2sinx(a2?t?1)，记f(t)?立，∴2?f(t)max.f(t)?a?t.依题意，2?f(t)恒成ta?t在区间[a2,a]上单调递减；在区间[a,1]上单调递增.而t111f(a2)??a2?f(1)?a?1，∴f(t)max??a2（当t?a2时取最大值）,故?a2?2，
aaa5?1?a?1为所求. 22解得
1?2sin解法3 原不等式即ax?a2sin2x?2.令t?a2sinx，则
2a?t?2①. t(1)若a?1，则t?1，①式显然成立. (2)若a?1，则a?a02sin2x?a2，即1?t?a2，即①式对任意t?[1,a2]恒成立
y ay?t? t(a?1) 2a 1 a a2 图1
x Oy y?t?a t(0?a?1) 2a Oa2 a 1 图2
x
由函数y?aaa?t的图象（图1）及1?a?a2，可得1??2，且a2?2?2,但这与t1a2a?1矛盾.
22sin（3）若0?a?1，则a?ax?a0，即a2?t?1.由函数y?a?t的图象（图2）及ta2?a?1，可得a2?aa2(a?1)(a?a?1)?0且a?1，又0?a?1，且，即?21??22a117
解得
5?1?a?1. 25?1?a?1为所求. 2cos2x综合（1）、（2）、（3），可得
评析 解决本题的关键是如何由a?a2sin2x?2对任意实数x恒成立，得到关于a的不?a2sin2等式.由于cos2x?1?2sin2x，故原不等式即a2sin2x1?2sin2xx?2，亦即
aa2sinx2?a2sin2x?2.
a?t?2.至此，若去分母，便将原问题转化为二次不等式恒成立taa的问题；若不去分母，应当有2?(?t)max，可通过函数f(t)??t的最大值解决问题.
tt令t?a，则原不等式就是
解法1运用函数思想，把二次不等式t?2t?a?0恒成立问题转化成二次函数
2f(t)?t2?2t?a的图象恒不在x轴上方的问题，从而得到关于a的不等式组，求出了a的范围.
解法2则由acos2x?a2sinx?2a及acos2x?a2sin22x?2，得a?1从而得a2?t?1.再由函数
a1?t在[a2,a]上单调减，在[a,1]上单调增，求出了f(t)的最大值?a2，由ta1af(t)?2恒成立，得?a2?2，求出了a的范围.解法3则直接根据函数f(t)??t的图象，
at分a?1，a?1，0?a?1三种情形讨论，直观地求出了a的范围. f(t)?三种解法，道出了解决恒成立问题中求参数的三种方法：解法1为函数法；解法2为最值法；解法3为图象法.当然，解决恒成立问题决不仅仅是这三种方法，比如，还有分离参数法，变更主元法，运用补集思想等.
x2?2x?2?x?1?的最小值为 ( ) 题16 函数f?x??2x?2A、-1 B、1 C、-2 D、2
（第七届高一培训题第2题）
解法1 f?x??1??1????x?1????.因为两个互为倒数的数，在它们等于?1时，其和可以2?x?1????取到绝对值的最小值.即当x?1??1，即x?2或x?0时，f?x?的绝对值最小.又x?1，故
x?2时，f?x?的绝对值最小.又f?x??0，?f?x?min?f?2??1.选B.
18
2解法2 因为x?1，联想到sec??1，于是令x?sec?，???0,???2?，则x?1?tan?. ?2?x2?2x?2?x?1??1tan2??11?1?11f?x??????tan???1，???2tan??2?x?1?2?x?1?2tan?2?tan??2tan?2当且仅当tan2??1，即x?2时，f?x?min?1.故选B. 2tan?2解法3 设??x??x?2x?2?x?1?，g?x??2x?2?x?1?.
???x??g?x??x2?2x?2??2x?2??x2?4x?4??x?2??0，???x??g?x??0.
2???x?g?x??1，即f?x??1,?f?x?min?1.故选B.
2x2?2x?2?x?1??1?x?1?.由此联想到万能公式: ?解法4 f?x??2x?22?x?1?2，故令x?1?tan??0，则f?x??g????2?1?0， ??2sin?1?tan22tan221?1,即f?x??1.?f?x?min?1.故选B. ?sin??0.又?1?sin??1，0?sin??1,
sin?sin??2?x?1??1?解法5 ?x?1，?x?1?0，f?x??2?x?1?2tan?1?tan2?x?11x?11??2??122?x?1?22?x?1?当且仅当
x?11，即x?2时取等号.?f?x?min?1.故选B. ?22?x?1?22x2?2x?2?x?2??2x?2?x?2????1?1，当x?2时解法6 ?x?1，?f?x??2x?22x?22x?2取等号.故选B.
x2?2x?22解法7 由y?去分母并整理，得x??2?2y?x?2?2y?0.?x?R，
2x?2????2?2y??4?2?2y??0，即y2?1?0，?y??1或y?1.?x?1，
2 19
?y?2?x?1??1x2?2x?2f?x???0，?y?1.当y?1时，由1?，解得x?2??1,???，
2?x?1?2x?2?f?x?min?1.故选B.
评析 解法1、6、7都是运用高一知识解决问题的，其余解法都用到了不等式知识，以解法
5、6最简捷.
解法7运用的是判别式法.运用此法是有前提的，如果将题中限制条件“x?1”去掉，此法总能解决问题.但有了“x?1”的限制，此法就不一定能奏效.只有当y?1时求出的x的值在
x?1的范围内时，1才是最小值，否则1就不是最小值，应当另寻他法加以解决.事实上，若将x2?2x?2?x?3?的最小值，此题改为“求函数f?x??”此法就失灵了.因为y?1时，
2x?2x?2??3,???.故y取不到1，也就谈不上ymin?1了.
x2?2x?2?x?1??1x?11y????若用不等式知识解：， ?x?3，?x?1?0，
2x?22?x?1?22?x?1?2?y?2x?11x?11??1，当且仅当，即x?2时取等号，但2??3,???，?22?x?1???22x?1故y取不到1，同样不能解决问题.此时我们可利用函数单调性解：
设3?x1?x2，则
22x12?2x1?2x2?2x2?2x12?2x1?2?x2?1??x2?2x2?2?x1?1?f?x1??f?x2????2x1?22x2?22?x1?1??x2?1?22x12x2?x12?x2x1?x2xx?x?x2???x1?x2??x1?x2??x1?x2??x1x2??x1?x2????121?2?x1?1??x2?1?2?x1?1??x2?1?2?x1?1??x2?1?????.
?3?x1?x2，?x1?x2?0,x1x2??x1?x2??0,?x1?1?0，x2?1?0， ?f?x1??f?x2??0，f?x1??f?x2?，已知函数是?3,???的单调增函数. ?ymin32?2?3?25?f?3???.
2?3?24拓展 本题的函数模型实际就是f?x??x?k?x?0,k?0?，容易证明，该函数在(0,k]上x 20