名思教育-----我的成功不是偶然！
名思教育个性化拓展练习
学生姓名 年级： 科目： 数学 得分： 因动点产生的面积问题 例1 如图1，已知抛物线y?12，与yx?bx?c（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）2轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)． （1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）； （2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S． ①求S的取值范围； ②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个． 图1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC． 2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD． 3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方． 4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值． 满分解答 1，点B的横坐标为－2c． 21111（2）由y?x2?(c?)x?c?(x?1)(x?2c)，设E(x,(x?1)(x?2c))． 2222（1）b＝c?过点E作EH⊥x轴于H． 由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH． 所以x?1?(x?1)(x?2c)．因此x?1?2c．所以E(1?2c,1?c)． EHCO1?c?c．所以． ??DHDO?2c?121整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或c?（舍去）． 213所以抛物线的解析式为y?x2?x?2． 22当C、D、E三点在同一直线上时， （3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F． 直线BC的解析式为y?设P(m,m2?1x?2． 2311m?2)，那么F(m,m?2)，FP??m2?2m． 2221所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝FP(xB?xC)?2FP??m2?4m??(m?2)2?4． 2因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4． 当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5． 综上所述，0＜S＜5． ②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个． 12海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）． 当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点． 例 2 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质． 图1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍． 2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形． 3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形． 满分解答 （1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)， 代入B′(0, 2)，得a＝1． 所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1． 如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图2，作PD⊥OB，垂足为D． 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)． 1111S梯形PB'OD?DO(B'O?PD)?x(2?x2?x?2)??x3?x2?2x． 2222S?PDB?1113DB?PD?(2?x)(?x2?x?2)?x3?x2?2． 2222所以S四边形PB'A'D?S梯形PB'OD?S?PDB??x2?2x+2． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1． 所以点P的坐标为(1，2)． 图2 图3 图4 （3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单． 11S?PB'O?B'O?xP??2x?x． 22S?PBO?11BO?yP??2(?x2?x?2)??x2?x?2． 22所以S四边形PB'A'D?S?PB'O?S?PBO??x2?2x+2． 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P： 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)． 而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P． 例 3 12x?1与抛物线y＝ax＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵2坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 如图1，在平面直角坐标系中，直线y? 图1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰