名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫． 3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论． 满分解答 （1）设直线y?1x?1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 2在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE?5．所以sin?AEO?因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin?ACP?25． 525． 5?4a?2b?3?0,将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得? 16a?4b?3?3.?11，b??． 22111（2）由P(m,m2?m?3)，C(m,m?1)， 2221111得PC?(m?1)?(m2?m?3)??m2?m?4． 2222解得a?所以PD?PCsin?ACP?所以PD的最大值为252512595． PC?(?m?m?4)??(m?1)2?5525595． 55； 2（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m?当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m?32． 9 图2 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 而DN?PDcos?PDN?PDcos?ACP?BM＝4－m． 525121?(?m?m?4)??(m?2)(m?4)， 5525519①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?． 251032110②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?． 959例 4 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y?交曲线y?m(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p,p?1)(p＞1)作x轴的平行线分别xmm(x＞0)和y??(x＜0)于M、N两点． xx（1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由． 图1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中． 2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论． 满分解答 （1）因为点B(2，1)在双曲线y?m上，所以m＝2．设直线l的解析式为y?kx?b，代入点A(1，0)和点B(2，xk?b?0,?k?1, 所以直线l的解析式为1)，得? 解得y?x?1． ???2k?b?1.?b??1.（2）由点P(p,p?1)(p＞1)的坐标可知，点P在直线y?x?1上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)． 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形． 由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形． 所以△PMB∽△PNA． 图2 图3 图4 （3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上． 当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP． 1?131?1322?2?．?①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此?解得或x?x??(?)?4(x?1)?????22x?x??x?（此时点P在x轴下方，舍去）．此时p?1?13． 21?522??2?．解得②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此?或x??(?)?4?(x?1)????2x??x?x?x?1?51?5（此时点P在x轴下方，舍去）．此时p?． 22 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM＝90°的情况． 图5 图6 例5 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y??1x?b交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 图1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长． 2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积． 3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形． 4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理． 满分解答 (1)①如图2，当E在OA上时，由y??1x?b可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝211OE?OC??2b?1?b． 221x?b可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－213352b．把x＝3代入y??x?b可知，点E的坐标为(3,b?)，AE＝b?，BE＝?b．此时 2222②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入y??S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝3?13151?3(b?)?(?b)(5?2b)??1?(2b?2) 222225??b2?b． 2(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形． 作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2． 设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得m?以重叠部分菱形DMEN的面积为 5．所45． 4 图2 图3 图4 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰