名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为5，如图7所示． 3 图5 图6 图7 例 6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y． （1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时， ①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． （3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由． 图1 备用图 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点． 2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论． 3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断． 满分解答 39?． 55941220?x?．(2) ①如图2，当F在AC上时，在Rt△AEF中，EF?AEtanA?x．所以y?AE?EF?x． 532393如图3，当F在BC上时，≤x?5．在Rt△BEF中，EF?BEtanB?(5?x)．所以541315y?AE?EF??x2?x． 28892254②当0?x?时，y?x的最大值为； 532593215357575x??(x?)2?当≤x?5时，y??x?的最大值为． 588823232575因此，当x?时，y的最大值为． 232(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，AD?ACcosA?3? 图2 图3 图4 (3)△ABC的周长等于12，面积等于6． 先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此 S?AEF?2111426． ?AE?AFsinA?x(6?x)???x(x?6)．解方程?x(x?6)?3，得x?3?52225516在3≤x≤5范围内（如图4）因为x?3?，因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分． 2 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分． 先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1． 因此S?BEF?解方程? 1133?BE?BFsinB?(5?x)(x?1)???(x2?4x?5)． 2251032(x?4x?5)?3．整理，得x2?4x?5?0．此方程无实数根． 10例7 如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标； （3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标． （4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 图1 图2 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 思路点拨 1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础． 2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备． 3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题． 4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系． 满分解答 （1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度． （2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H． 在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）． （3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以3434AM?t,PM?t．于是PN?OM?10?t,ON?PM?t． 5555113347设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么S??OQ?PN?(1?t)(10?t)??t2?t?5，定义域为0≤t≤10． 2251010APAMMPtAMMP，即?．因此???ABAFBF1068因为抛物线开口向下，对称轴为直线t?47479453，所以当t?时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)． 1510665295（4）当t?或t?时, OP与PQ相等． 313 图3 图4 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰
名思教育-----我的成功不是偶然！ 考点伸展 附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ． 附加题也可以这样解： ?5m?t,①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组??8m?1?t,5解得t?． 3②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组??5m?37.5?t,295解得t?． 138m?1?t,??5m?10?t?10,5解得t?，但这时点P3?8m?1?t,③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组?不在BC上． 图5 图6 班主任签名： 校长签名： 家长签名： 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰