又底面为等边三角形，为线段∴又∴
平面，
，
． 交
的中点，
（）证明：连接∵是∴又∴直线（）在
的中点， ， 平面
平面
，
于，连接，则为的中点，
平面．
，
内的平面区域（包括边界）存在点，使
交线段平面
，而
与，
平面
，
，此时在线段上，
证明如下：过作由（）可知，∴由∵∴
， ，平面．
，
，得平面，
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 19. 如图，在四棱锥分为
、
的中点，
平面
中，． ． 的体积． 与平面
所成锐二面角
，求的取值范围．
，
，
，
，、
（）求证：平面（）若（）设
，求四面体，若平面
【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】 【分析】
（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF； （2）明确锥体的高为
，即可得到几何体的体积；
（3）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
【详解】
（）证明：∵∴又∵∴∵∴∵∴又
平面平面为矩形，
，是， ， ， ， ， ，
，， 中点，
，，为的中点，
∴平面（）∵∴∵∴∴
中，平面
平面平面，
． ，
，
， ，
，
， ．
，
的面积
的体积， ， ，， ， 平面，
所在直线为轴，，
，的法向量的法向量为
，
，， ，
，
， ，
∴四面体（）∵∴又∴又∴∴如图，以则∴平面设平面
所在直线为轴，
，
，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，即，取，得，，
则，
∴，
∵平面与平面所成锐二面角，
∴，即，
由，得：，由得：或，
∴的取值范围是．
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.