湖南省湘潭市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（） A． {0，2} B． {2，3} C． {3，4}
2．（5分）下列区间中，函数f（x）=2﹣3有零点的区间是（） A． （﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2） 3．（5分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（） A． 30° B． 45° C． 60°
x
D． {3，5}
D． （2，3）
D． 135°
4．（5分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的
大小关系时（） A． a＜b B． a=b C． a＞b D． 不能比较 5．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（） A．
B． 1
C．
D．
6．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）
A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． AC⊥面SBD D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
7．（5分）已知直线x+y+2=0截圆x+y=z所得弦的长度为4，则圆半径为（） A． 2 B． C． 6 D．
3
2
2
2
8．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x，若f（a）+f（b）=0，则a+b的值为（） A． 1 B． 0 C． ﹣1 D． 不能确定
二、填空题（每小题5分，共25分） 9．（5分）函数f（x）=
10．（5分）已知5=25，则5=．
2x
﹣x
的定义域是．
11．（5分）已知点A（4，﹣2）和点B（2，4），则线段AB的垂直平分线方程为． 12．（5分）一个高为2的圆锥，底面半径为1，该圆锥的体积为．
13．（5分）已知幂函数y=x（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=．
三、解答题 14．（12分）（1）log363﹣2log3 （2）
15．（11分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为
的圆柱，求圆柱的表面积．
÷a．
2
m﹣3
*
16．（12分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：（3a﹣4）x﹣y﹣2=0，且l1∥l2 （1）求a的值
（2）求以N（1，1）为圆心，并且与l2相切的圆的方程．
四、选择题（每小题5分）
22
17．（5分）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
五、填空题（每小题5分）
18．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k
的取值范围是．
六、解答题 19．（12分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alogbt③p=at+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，
（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由 （2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．
2
20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点 （1）求证：直线BD1∥平面PAC （2）求证：直线PB1⊥平面PAC．
21．（14分）已知函数f（x）=
的图象经过点（2，﹣）
（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式 （2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明 （3）求函数f（x）在上的最大值．
湖南省湘潭市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（） A． {0，2} B． {2，3} C． {3，4} D．{3，5}
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 根据集合的基本运算即可得到结论．
解答： 解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}， ∴M∩N={2，3}， 故选：B
点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）下列区间中，函数f（x）=2﹣3有零点的区间是（） A． （﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2）
x
D．（2，3）
考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 得出函数在R上单调递增，根据零点存在性定理判断即可：f（0）=﹣2＜0，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，
x
解答： 解：∵函数f（x）=2﹣3， ∴函数在R上单调递增，
∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0， ∴根据零点存在性定理判断：（1，2）上有1个零点． 故选：C．
点评： 本题考查了观察法求解函数的单调性，零点存在性定理的运用，属于中档题，难度不大． 3．（5分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（） A． 30° B． 45° C． 60° D．135°
考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．
分析： 由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角． 解答： 解：由x﹣y+8=0，得y=x+8， ∴直线的斜率为1，
设其倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 由tanα=1，得α=45°． 故选：B．
点评： 本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．
4．（5分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的大小关系时（） A． a＜b B． a=b C． a＞b D．不能比较
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行比较即可．
解答： 解：∵f（x）是偶函数，∴a=f（﹣1）=f（1），b=f（log24）=f（2）， ∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减， ∴f（1）＞f（2）， 即a＞b， 故选：C
点评： 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键． 5．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（） A．
B． 1
C．
D．
考点： 简单空间图形的三视图．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 根据题意，画出图形，结合图形，求出该正方体的正视图面积是多少．
解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示； 该正方体的俯视图是正方形ABCD，其面积为1， 侧视图是矩形BDD1B1，其面积为； ∴正视图是矩形ACC1A1，其面积为 S=AA1?AC=1×=． 故选：A．
点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目． 6．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）
A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． AC⊥面SBD D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
考点： 直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出； B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出； C．通过平移即可得出异面直线所成的角；
D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出． 解答： 解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC． ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD． 又∵SD∩DB=D．
∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB．
B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC， 又AB?平面SCD，CD?平面SCD， ∴AB∥平面SCD．
C．由A可知：AC⊥平面SDB．
D．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角； 而∠SCD≠∠SAB．
∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确； 故选：D．