点评： 本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．
五、填空题（每小题5分）
18．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k
的取值范围是（0，1]．
考点： 分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
分析： 由题意可得关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即为函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，数形结合求得k的范围．
解答： 解：由题意可得，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即为 函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点， 如图所示：
故实数k的取值范围是（0，1]， 故答案为：（0，1]．
点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
六、解答题
19．（12分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alogbt③p=at+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，
（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由 （2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．
2
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： （1）由题意，函数有增也有减，故选用p=at+bt+c，由提供的数据，求出函数的解析式； （2）由二次函数的图象与性质可得结论．
2
解答： 解：（1）由题意，函数有增也有减，故选用p=at+bt+c，将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at+bt+c，可得
2
2
，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，
2
∴p=﹣0.2t+1.5t﹣2，
（2）由（1）知对称轴为t=3.75，即最佳的加工时间是3.75分钟．
点评： 本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．
20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点 （1）求证：直线BD1∥平面PAC （2）求证：直线PB1⊥平面PAC．
考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论． （2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．
解答： 证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点 连接AC和BD，相较于O，连接OP， 所以：OP∥BD1
BD1?平面PAC，OP?平面PAC
所以：直线BD1∥平面PAC
（2）连接OB1，由于四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD BB1⊥平面ABCD
所以：AC⊥平面BB1D1D 则：AC⊥PB1 由于：
所以：PB1⊥OP
直线PB1⊥平面PAC
点评： 本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定和性质的应用，属于基础题型．
21．（14分）已知函数f（x）=
的图象经过点（2，﹣）
（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式 （2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明 （3）求函数f（x）在上的最大值．
考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义． 专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用．
分析： （1）运用代入法，解方程即可得到p和f（x）的解析式；
（2）运用定义法判断奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）运用导数，对t讨论，当＜t≤1时，当t＞1时，结合函数的单调性，即可判断函数的最大值．
解答： 解：（1）函数f（x）=的图象经过点（2，﹣），
则f（2）=﹣，即解得p=2， 则f（x）=
；
=﹣，
（2）若x≠0，f（x）为奇函数．
理由如下：定义域{x|x≠0}关于原点对称， f（﹣x）=
=﹣f（x），
则f（x）为奇函数； （3）f′（x）=﹣（1﹣
），
当＜t≤1时，f′（x）≥0，f（x）在上递增，f（t）最大，且为；
当t＞1时，当≤x＜1，f′（x）＞0，f（x）递增；当1＜x＜t时，f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=1时f（x）取得最大值，且为﹣．
综上可得，当＜t≤1时，f（x）的最大值为；
当t＞1时，f（x）的最大值为﹣．
点评： 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的奇偶性的判断，考查函数的最值的求法，考查分类讨
论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．