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2012年高考真题理科数学解析分类汇编13 概率
1.【2012高考辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 (A)
16 (B)
13 (C)
23 (D)
45
【答案】C
【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12?x)cm,那么矩形的面积为x(12?x)cm， 2由x(12?x)?32，解得x?4或x?8。又0?x?12，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 2.【2012高考湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A．1?C．2π2π121π1π B．? D． 【答案】A 考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法. 【解析】令OA?1，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为S1，围成OC为S2，作对称轴OD，则过C点。S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形12OAC的面积，S111??2?1?。在扇形OAD中1为扇形面S2????????22?2?2228积减去三角形OAC面积和S1?S2?S22，
S12?181??1??218?S22???216，
第8题图
，扇形OAB面积S??，选A.
443.【2012高考广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A.
49132919??2 B. C. D.
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【答案】D
【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有5?5?25个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有4?5?20，所以P?525?20?19．故选D．
法二：设个位数与十位数分别为x,y，则x?y?2k?1，k?1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以x,y分
11别为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有C5?C5?25个数；第二类x为偶数，y为11奇数共有C4?C5?20个数。两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是545?19，选D。 4.【2012高考福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 A.14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】Ｃ. 考点：积分的计算和几何概型。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。 【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积S??10(x?x)dx?(16233x2?12x)|0?2116，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为．故选Ｃ． ?0?x?2,?0?y?25.【2012高考北京理2】设不等式组?，表示平面区域为D，在区域D内随机取
一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
???2?4??（A） （B） （C） （D）
4264
【答案】D
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【解析】题目中??0?x?2?0?y?2表示的区域如图正方形所示，而动点D
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
2?2?P?142?2??22?4??4，故选D。
6.【2012高考上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。 【答案】23 【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有C32C32C32?27中，若有且仅有两人选择的1?18，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为项目完成相同，则有C32C32C21827?23。 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 7.【2012高考新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】38 2【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50)
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p?12
2超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P1?1?(1?p)? 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2?p1?p?3834
.
8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，?3为公比的等
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比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】
35。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，?3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是9.【2012高考四川理17】(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意110610=35。 时刻发生故障的概率分别为和p。 4950（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值； （Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量?，求?的概率分布列及数学期望E?。 【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力. [解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 1-P（C）=1-110495015P= ，解得P=0………………………………4 分 1100027（2）由题意，P（?=0）=C（3P（?=1）=C（311101101110）?）?3 1101110100024322）（1?）?P（?=2）=C（ 310101000）（1?2P（?=3）=C（33）（1?0）?37291000 所以，随机变量?的概率分布列为： ? 0 110001 2710002 24310003 7291000 P
故随机变量X的数学期望为： E?=00?11000?1?271000?2?2431000?3?7291000?2710 ……………………12分.
[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.
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10．【2012高考湖北理20】（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表： 降水量X 工期延误天数Y X?300 300?X?700 700?X?900 6 X?900 0 2 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差； （Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有： P(X?300)?0.3,P(300?X?700)?P(X?700)?P(X?300)?0.7?0.3?0.4， P(700?X?900)?P(X?900)?P(X?700)?0.9?0.7?0.2. P(X?900)?1?P(X?900)?1?0.9?0.1. 所以Y的分布列为： YP 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 于是，E(Y)?0?0.3?2?0.4?6?0.2?10?0.1?3； D(Y)?(0?3)?0.3?(2?3)?0.4?(6?3)?0.2?(10?3)?0.1?9.8. 2222 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，P(X?300)?1?P(X?300)?0.7， 又P(300?X?900)?P(X?900)?P(X?300)?0.9?0.3?0.6. 由条件概率，得P(Y?6X?300)?P(X?900X?300)?P(300?X?900)P(X?300)67?0.60.7?67.
故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 11.【2012高考江苏25】（10分）设?为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，??0；当两条棱平行时，?的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，??1． （1）求概率P(??0)； （2）求?的分布列，并求其数学期望E(?)．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8C32对相交棱。
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