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∴ P(??0)=8C3C2122?8?366?411。
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴
411P(??1116112)=6C212?666?111，
P(??1)=1?P(??0)?P(??2)=1??=。 ∴随机变量?的分布列是： ? P(?) 6110 4111 611111=6?1122 2? 111 ∴其数学期望E(?)=1??。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率P(??0)。 （2）求出两条棱平行且距离为2的共有6对，即可求出P(??2)，从而求出，因此得到随机变量?的分布列，求出其数P(??1)（两条棱平行且距离为1和两条棱异面）学期望。 12.【2012高考广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为?，求?得数学期望．
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。 【解析】（1）0.006?10?3?0.01?10?0.054?10?x?10?1?x?0.018
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（2）成绩不低于80分的学生有(0.018?0.006)?10?50?12人，其中成绩在90分以上（含90分）
的人数为0.06?10?50?3 随机变量?可取0,1,2 P(??0)? E??0?答：（1）x?0.018 （2）?的数学期望为12611C92C122?611922,P(??1)??2?122?12C9C3C12211?922,P(??0)?C32C122?122
?1? 13.【2012高考全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）?表示开始第4次发球时乙的得分，求?的期望。 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。 解：记Ai为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则P(A1)?0.6,P(A2)?0.6,P(A3)?0.4。 （Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?0.6?0.4?0.6?0.4?0.6?0.6?0.4?0.4?0.4?0.352。即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 （Ⅱ）由题意??0,1,2,3。 P(??0)?P(A1A2A3)?0.6?0.6?0.4?0.144； P(??1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?0.4?0.6?0.4?0.6?0.4?0.4?0.6?0.6?0.6=0.408；
P(??2)?0.352；
P(??3)?P(A1A2A3)?0.4?0.4?0.6?0.096
所以E??0.408?2?0.352?3?0.096?1.4
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【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。
14.【2012高考浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。 (Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6． P(X?3)?C5C13392?542?； ； P(X?4)?C5C4C393321?20422； P(X?5)?C5C4C931542P(X?6)?C4C9?42． 故，所求X的分布列为 X P 3 5424 2042?10215 1542?5146 242?121 (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为： 6E(X)＝?i?P(Xi?4?i)?3?542?4?1021?5?514?6?121??9121． 15.【2012高考重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率； （Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数?的分布列与期望 解：设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则 P?Ak??131312，乙每次投篮投中的概率为，且，P?Bk??12， k??1,2,?3
（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P?C??P?A1??PA1B1A2?PA1B1A2B2A3
?P?A1??PA1PB1P?A2??PA1PB1PA2PB2P?A3?
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1?2??1????????????3323?3??2?3121122
?13?19?127?1327
（2）?的所有可能为：1,2,3
由独立性知：P???1??P?A1??PA1B1?P???2??PA1B1A2?PA1B1A2B22??13?23?12?232
2????22?2??1?????????? 323?3??2?9211P???3??PA1B1A2B2??1?2??1??????? 9?3??2?综上知，?有分布列 ? P 1 223292 ?1393 1929从而，E??1??2??3?319 （次） 16.【2012高考江西理18】（本题满分12分） 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。
（1）求V=0的概率；
(2)求V的分布列及数学期望。
3解：（1）从6个点中随机地选取3个点共有C6?20种选法，选取的3个点与原点O在同
13一个平面上的选法有C3C4?12种，因此V=0的概率P(V?0)?1220?35
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（2）V的所有可能值为0,V 0 161124,,,，因此V的分布列为 633313 23 43 P 35 120 320 320 120 由V的分布列可得： EV=0?35?16?120?13?320?23?320?43?120?940 【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 17.【2012高考湖南理17】本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 顾客数（人） x 结算时间（分1 钟/人） 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 y 2.5 17件及以上 10 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率） 【解析】（1）由已知,得25?y?10?55,x?y?35,所以x?15,y?20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 p(X?1)?15100?320?,p(X?1.5)?,p(X?3)?3010010100??310110,p(X?2)?25100?14, p(X?2.5)?X的分布为
2010015.
X 1 P 3201.5 2 3102.5 3 15 14 110 X的数学期望为
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