线性代数全公式
基本运算
①A?B?B?A
②?A?B??C?A??B?C?
③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A
⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A
T ?A?B??AT?BT
?cA?TT?cAT。
?? ?AB??BTAT
??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n
转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA
?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B
A?B???1??1,?2??2,?3??3?
A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1
有关乘法的基本运算
Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT
TAB?AB
AkAl?Ak?l Ak??l?Akl
k ?AB??AkBk不一定成立！
AE?A，EA?A
A?kE??kA，?kE?A?kA
AB?E?BA?E
与数的乘法的不同之处
?AB??AkBk不一定成立！
k无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A2?2A?3E??A?3E??A?E? 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0
由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律）
特别的 设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB?AC?B?C。
右消去律：BA?CA?B?C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C
可逆矩阵的性质 i）当A可逆时， AT也可逆，且?AT??1??A?1?T。 Ak也可逆，且?Ak??1??A?1?k。
数c?0，cA也可逆，?cA??1?1?cA1。 ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??1?B?1A?1。
推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j?
?E?i?c????1?E???i??1???c????
?? ?E?i,j?c????1?E?i,j??c??
命题：准对角矩阵
A11000A?0A220000?0可逆
?每个Aii都可000AkkA?111000A?0A?11?220000?0
000A?1kk
伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE
逆，记
当A可逆时， AA*A*， （求逆矩阵的伴随矩阵法） ?E 得A?1?AA得
：
且
?A*??1?A?A?1? A????1?A*?A?1A?1???????1A? ??A??n?1 伴随矩阵的其他性质
①A*?A, A*?AA
T?1 ②AT*??A*?, ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,
⑤Ak*??A*?，
k???? ⑥?A*?*?An?2?a?b?A。 n?2时， ?A*?*?A A*????cd??
?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*
i) 任何两个的次序可交换， 如AT*??A*?，
T???1T ?A*???A?1?*等
?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB? ?AB?*?B*A*
?B?1A?1，
但?AB??BkAk不一定成立！ k
线性表示
0??1,?2,?,?s
?i??1,?2,?,?s
???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解
???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs??T?
Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。
?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，
则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C
线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示
?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t
记作?1,?2,?,?s?
线性相关
s?1，单个向量?，x??0
?1,?2,?,?t。
?相关???0
?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s