证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0
则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，与条件?1,?,?sc1?1???cs?s?0，
无关矛盾。于是???cc1?1???s?s。 cc ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，
则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。
Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。
则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。
⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。
推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。
极大无关组
一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组
①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s
②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?
?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。
?? ??1,?,?s?,???1??s ? ??1,?,?s,???? ??? ?,?,??1,??/?,?,?1s1s? ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s ④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?
?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?
⑤?1,?,?s??1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?
矩阵的秩的简单性质 0?r?A??mi?nm,n? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n
n阶矩阵A满秩：r?A??n
A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0 ?A可逆
?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩 ①rAT?r?A?
②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B??
⑤A可逆时，r?AB??r?B?
弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B? 证：下面证ABx?0与Bx?0同解。 ?是ABx?0的解?AB??0
?B??0??是Bx?0的解
??B可逆时，r?AB??r?A?
⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B? B行满秩时r?AB??r?A?
⑧r?AB??n?r?A??r?B?
解的性质
1．Ax?0的解的性质。 如果
?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合
c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。
?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?
①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则
c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0
A?i????i
A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??
特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解??的解。 解的情况判别
方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n
???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?
无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n 无穷多解??0是Ax?0???A|?????A??n
方程个数m：
??A|???m,??A??m
①当??A??m时，??A|???m，有解②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，
只有零解???A??n（即A列满秩）（有非零解???A??n）
特征值特征向量
?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。
两种特殊情形：
（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。
?? 1? A??0?0? xE?A?*? 20*???? ? 3???*x?? 20?*????x?? 1??x?? 2??x?? 3? x?? 3x?? 100 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质
命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??
②当A可逆时，A???11??，A*??|A|??
命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则
①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?
②A可逆时，A?1的特征值为
111 ,,?,? 1? 2? n A*的特征值为
|A||A||A| ,,?,? 1? 2? n ③A的特征值也是? 1,? 2,?,? n 特征值的应用
①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n ②判别可逆性 ?是A的特征值?T? E?A?0?A?? E不可逆 A?? E可逆??不是A的特征值。
当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆
若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系
当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。