对每个n阶实矩阵A，记x??x1,x2,?,xn?，则xTAx是一个二次型。
T f?x1,x2,?,xn??xTAx
称A的秩??A?为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。 可逆线性变量替换
设有一个n元二次型f?x1,x2,?,xn?，引进新的一组变量y1,y2,?,yn，并把
x1,x2,?,xn用它们表示。
?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?c11??x?cy?cy???cy?2?c212112222nn ? （并要求矩阵C???????c??n1?xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn阵）
代入f?x1,x2,?,xn?，得到y1,?,yn的一个二次型g?y1,?,yn?这样的操作称为对
?c1n??c22?c2n?是可逆矩
?????cn2?cnn??c12f?x1?xn?作了一次可逆线性变量替换。
设Y??y1,y2,?,yn?，则上面的变换式可写成 x?CY T 则f?x1?xn??xTAx?YTCTACY?g?y1,?,yn? 于是g?y1,?yn?的矩阵为CAC CTACT??T?CTATCT?CTAC
实对称矩阵的合同
两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CAC?B。称A与
TB合同，记作A~?B。
命题：二次型f?x1?xn??xAx可用可逆线性变换替换化为
T g?y1?yn??YTBY?A~?B
二次型的标准化和规范化
1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。
也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D?QAQ是对角矩阵。
?1 QTAQ?Q?1AQ?D A~D，A~?D
2．标准化和规范化的方法 ①正交变换法
② 配方法
3．惯性定理与惯性指数
定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。 一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。
用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。
定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。
实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。
正定二次型与正定矩阵
定义：一个二次型f?x1,x2,?,xn?称为正定二次型，如果当x1,?,xn不全为0时，
f?x1,x2,?,xn??0。
222 例如，标准二次型f?x1,x2,?,xn??d1x1正定?di?0，?d2x2???dnxni?1,?,n
（必要性“?”，取x1?1，x2???xx?0，此时f?1,0,?,0??d1?0同样可证每个di?0）
TT 实对称矩阵正定即二次型xAx正定，也就是：当x?0时，xAx?0。
?? 1??0 例如实对角矩阵?0??0?0? 2000??00?正定?? i?0，i?1,?,n
?0??0? n??0 定义：设A是一个n阶矩阵，记Ar是A的西北角的r阶小方阵，称Ar为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。
a11a12a13a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 a31a32a22逆序、逆序数、奇排列、偶排列，根据逆序数可简化上式