可逆矩阵及其逆矩阵
定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A?1。 定理：n阶矩阵A可逆?A?0 求A?1的方程（初等变换法）
行 AE???EA?1
????
伴随矩阵
?A11??A12 A*?????A?1n 线性表示
A21A22?A2nAn1???An2?T???A ij?????Ann???
?可以用?1,?2,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，
也就是存在c1,c2,?,cs使得 c1?1?c2?2???cs?s?? 记号：???1,?2,?,?s
线性相关性
线性相关：存在向量?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 线性无关：每个向量?i都不能用其它向量线性表示
定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称
?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。
即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解
???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解
极大无关组和秩
定义：?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：
i）?I?线性无关。 ii）?I?再扩大就相关。 ?I????1,?2,?,?s ?II???1??s??I?
定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。
如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。
0?? ??1,?,?s??mi?nn,s?
有相同线性关系的向量组
定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，
若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，
即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解， 从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有 c1?1?c2?2?c4?4?0，
?1,?2,?3也相关。
②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。 设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则 x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。
反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。
矩阵的秩
定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。
r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。
方程组的表达形式
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 1．?
????am1x1?am2x2???amnxn?bm 2．Ax?? ?是解?A???
3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n
基础解系和通解
1．Ax?0有非零解时的基础解系
?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件：
①每个?i都是Ax?0的解②?1,?2,?,?e线性无关③Ax?0的每个解
???1,?2,?,?e ③/ l?n???A?
通解
①如果?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为
c1?1?c2?2???ce?e，ci任意
?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系， ②如果?0是Ax?????0?的一个解，则Ax??的通解为
?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意 特征向量与特征值
定义：如果??0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数
?，使得A????，称?为?的特征值。
设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。 ①特征值有限特征向量无穷多
若A????，A?c???cA??c?????c??
A?1???1? ??A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?
A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。
特征向量与特征值计算 A????,??0
???E?A???0,??0
??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值?? E?A?0
②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式xE?A为A的特征多项式。
?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。 ?的重数：?作为xE?A的根的重数。
n阶矩阵A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。
计算步骤：
①求出特征多项式xE?A。 ②求xE?A的根，得特征值。
③对每个特征值? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。 n阶矩阵的相似关系
设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U?1AU?B，则称A与B相似，记作A~B。
n阶矩阵的对角化
基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则
??1??0?1 UAU??0??0?
0?2000??00?
?0??0?n??00??00????1?1,?2?2,?,?n?n?
?0??0?n??00??1??0?A??1,?2,?,?n??U?0??0??200 ?A?i??i?i，i?1,2,?,n 判别法则
A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。
计算：对每个特征值?i，求出??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，?1,?,?n。令U???1,?2,?,?n?，则
??1??0?1 UAU??0??0?二次型（实二次型）
0?2000??00?，其中?i为?i的特征值。
?0??0?n??0二次型及其矩阵
一个n元二次型的一般形式为 f?x1,x2,?,xn???ai?1n2iiix?2?aijxixj
i?j 只有平方项的二次型称为标准二次型。
形如：x1?x2???xp?xp?1???xp?q的n元二次型称为规范二次型。
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