20.（本题满分13分）
一动圆C与圆C1:x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆C2:x2?y2?6x?55?0内切. （1）求动圆圆心C的轨迹F的方程；
（2）在矩形ABCD中（如图），AB?10,BC?8, B1,A1,B2,A2分别是矩形四边的中点，M,N分别是A2 O D y B2P M C N A1x
OA1（其中O是坐标系原点）A1C的中点，直线B1M, B2N的交点为P，证明点P在轨迹F上.
A B1B 21.（本题满分14分）已知数列{an}中，a1?1,an?1?an?3?2n?1(n?2). （1）求a2,a3； （2）求an的通项公式； （3）证明：
1a2?1?1a3?1???1an?1?1?53(n?1)
增城市2011届高中毕业班调研测试理科数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题：BBCDA CDD
二、填空题：（一）9. 5 10. 1 11. -20 12. 950 13. （二）14. 2 15. (2,三、解答题：
16.解：（1）P(X?1)?C5?C4C943110?
5?3)
?10?4126?2063 5分
(第一个等式的分子、分母各1分，第二个的分子、分母的计算各1分，结果1分) （2）?的取值为0，1，2 ，3，4 6分
C5C944P(X?0)??51263 P(X?2)?C5?C4C9422?60126C4C944?10211126 8分
P(X?3)?C5?C4C941?20126?1063? P(X?4)? 10分
所以所求分布列为 X P 0 5126 1 2063 2 10213 106351264 11262063 11分 所以所求的数学期望是E(X)?
17. 解：（1）?f(x)?所以当x??4?2sin(x??0??1?1021?2?1063?3?1126?4?11263 12分
?4) ?0?x??,??4?x??4?5?4
?2，即x??4??4时 f(x)有最大值2 5分
（2）当0?x?当?2?2时f(x)单调增， 6分
?x??4??时f(x)单调减， 7分
所以f(x)的单调增区间是[0,（3）?sin??cos?? ???2??3?215?4]，单调减区间是[?4,?] 8分
,0????，??22?x?1253?4 9分
?(sin??cos?)?2425, 11分
725所以sin2??? ?cos2??? 13分
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?sin(2???215)??cos2??725 14分
?421022或解：?f(?)?,0????,即sin(??)?? 9分
?3??????? ?cos(???)??72 11分
44410?sin(2???2)?2sin(???4)cos(???4)??725， 12分
即cos2???7 ?sin(2???7252)??cos2??25 14分
18.（1）证明：连结MD1,MB M是AA1的中点 ?A1M?AM ?A1D1?AB ?Rt?ABM?Rt?A1D1M 3分
?MD1?MB ?O是BD1的中点， ?MO?BD1 5分 连B1D,?BDD1B1是矩形，?B1D过点O且为B1D的中点 同理可证：OM?B1D ?OM?平面BDD1B1 7分
（2）证明：连结D1M并延长与DA的延长线交于点P ?M为AA1的中点， ?AP?AD?AB?1,PM?MD51?MB?2 9分
连PB取其中点Q，连AQ,MQ，则AQ?PB,MQ?PB 10分
??MQA是所求二面角的平面角 11分
?在等腰直角三角形APB中，AQ?1PB?222. 12分
?MQ?AM2?AQ2?32 ?co?sMQA?AQ6MQ?3 所以? ?????????????或解：（1）分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立直角坐标系， 1分
则D(0,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),M(1,0,1112),O(2,2,12) 2分 ???????????????DD?(0,0,1),DB?(1,1,0),MO?(?12,112,0) 3分
?????????????????????MO?DD1?0,MO?DD1?0 4分
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2分 14分
????????????????????MO?DD1,MO?DB,即MO?DD1,MO?DB ?MO?平面BDD1B1 7分
（2）设点平面B1D?的法向量为n?(1,x,y)M
??????BD1?(?1,?1,1)
?1x???????n?MO????0? 10分 解得x?1,y?2 即n?(1,1,2) 11分 22?????????n?BD??1?x?y?0?1?????????????????又平面ABCD的法向量为DD1?(0,0,1) ?n?DD1cos??n?DD1 13分
6363?cos??，即所求的二面角的平面角的余弦值为2 14分
19.解（1）解：v(x)?(a?2x)x(0?x?a2) 5分
（2）?v(x)??2(a?2x)(?2)?(a?2x)2 ?(a?2x)(a?6x) 9分 令v(x)??0得x?aaa2或x?a6?x?a6当x?(0,)时，v(x)??0,?v(x)单调增11分
6a当x?(,)时，v(x)??0,?v(x)单调减 12分
62a23a 13分 所以当x?时v(x)取到最大值，且最大值是
62720.解（1）设动圆C半径为r ， ?圆C1的方程为(x?3)?y?4， ?r1?2,C1(?3,0)
又?圆C2的方程为（x-3）?y?64,?r?8,C222222(3 , 0 ) 2分
?CC1?r?2,CC2?8?r ?CC1?CC2?10 ?C1C2?6
所以点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴为10的椭圆 5分
x2?a?5,c?3,?b?4，所以点C的轨迹F的方程是
525?y216?1 （x??5） 7分
（2）?B1(0,?4),B2(0,4),A1(5,0),C(5,4),?M(,0),N(5,2)， 8分
2 ?B1M的方程为0?48,即y??4?x 9分 5x?052y?42?421212B2N的方程为?,即y?4?x解得x?4,y? 即P(4,) 11分
x5555?y?4144将点P代入F的方程得
16256?144?25??1 12分 2516400所以直线B1M,B2N的交点P在动圆圆心C的轨迹F上 13分
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21. 解（1）?a1?1,an?an?1?3?2n?2(n?2)，?a2?2 ?a3?4 2分 （2）当n为偶数时an?an?1?3?2n?2， an?2?an?3?3?2n?4
? a4?a3?3?22， a2?a1?3 3分
n?Sn?3(2n?2?2n?4???2?1) ?3?n?22(2)2?12?122?2?1 5分
n?4n当n为奇数时，an?an?1?3?2， an?2?an?3?3?23
? a5?a4?3?2，a3?a2?3?2， a1?1
n?1?Sn?3(2n?2?2n?4???2?2)?1 ?3?32[(22)?2?1221]n?1?2?1 7分
nn?1n?1当n?2时，an?Sn?Sn?1?2?1?2?1?2
1?1n?1当n?1时，a1?2?1，?an?2 8分
或解：?an?an?1?3?2当n为偶数时：an?2当n为奇数时：an?2所以an?2n?1n?2 ?an?an?1?2n?2n?1?2n?2 an?20n?1??(an?1?2n?1n?2)2分
n?1??(an?1?2??(an?1?2)????(a1?2)?0 ?an?20 5分 7分
n?1n?2)???a1?2?0 ?an?2n?1 8分
n?1或解：由a2?2得a3?4?an?2 证明当n?1时成立 5分
k?1k?1k?1k?1k假设当n?k时，ak?2 ?ak?1?ak?3?2,ak?1?3?2?2?2 7分
对任意n有an?2?2（3）
n?1n?1n?1 8分
221a4?1n?1?2?1，?n?1?1?1， ?12?11n?2nn?1n?1(2?1)(212?12?1)?2(12?11n?12n?1?1)
?1a2?1?1a3?11?)????1an?1?1?2?1??12?13???2?1n
11112?(??)?2(? ) 13分 nn?137715?21?21225?n?1? 14分 ?1?32?13 ?1?2(?1第 - 4 - 页 共 4 页