第一篇 集合与简易逻辑 第1讲 集合及其运算
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系 相等 集合间的 基本关系 真子集 空集 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 符号语言 A＝B A?B 3.集合的基本运算 图形语言 符号语言 ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} B} 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分 条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p 真 真 假 假 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 p p?q且qpp q且q?p p?q q且qp (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q. 第二篇 函数与导数
第1讲 函数的概念及其表示
1．函数的基本概念 (1)函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． (3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．函数定义域的求法
类型 2nf?x?，n∈N* x满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)＞0 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义 1与[f(x)]0 f?x?logaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题 3．函数值域的求法
方法 配方法 性质法 单调性法 换元法 分离常数法
示例 y＝x2＋x－2 y＝ex y＝x＋x－2 y＝sin2 x＋sin x＋1 xy＝ x＋1示例答案 ?9?y∈?－4，＋∞? ??y∈(0，＋∞) y∈[2，＋∞) ?3?y∈?4，3? ??y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 第2讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 定义 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 续表 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (3)对于任意x(1)对于任意x∈I，都有条件 f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. ∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 第3讲 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
第4讲 幂函数与二次函数