(4)伸缩变换
纵坐标伸长?a＞1?或缩短?0＜a＜1?为原来
①y＝f(x)――→y＝
的a倍，横坐标不变af(x)(a＞0)
横坐标伸长?0＜a＜1?或缩短?a＞1?为原来
②y＝f(x)―→y＝f(ax)(a＞0) 1―
的a倍，纵坐标不变第8讲 函数与方程
1．函数的零点 (1)函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
第9讲 函数模型及其应用
1．函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 与指数函数相关模型 与对数函数相关模函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 型 与幂函数相关模型 (2)三种函数模型性质比较 函数 性质 在(0，＋∞)上的单调性 增长速度 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 单调增函数 越来越快 单调增函数 越来越慢 单调增函数 相对平稳 a2.“f(x)＝x＋x”型函数模型
a
形如f(x)＝x＋x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.
第10讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
ΔyΔx＝
f?x0＋Δx?－f?x0?
为
Δx
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)称函数f′(x)＝
f?x＋Δx?－f?x?
为f(x)的导函数．
Δx
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x 导函数 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． f′?x?g?x?－f?x?g′?x??f?x???′＝(3)?(g(x)≠0)．
[g?x?]2?g?x??4．复合函数的导数
f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex 1f′(x)＝xln a 1f′(x)＝x 设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．
第11讲 导数在研究函数中的应用
1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减． (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数 极大值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值 极小值 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
第12讲 导数的综合应用
1．生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
3．导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．
第13讲 定积分与微积分基本定理
1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，?，n)，作和式
Sn??f(?i)?x??i?1i?1nnb?af(?i),当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这n个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作S??baf(x)dx，即
?baf(x)dx?lim?f??i?n??i?1nb?a n(2)定积分的几何意义
①当f(x)≥0时，定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y
ab＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?f(x)dx表示介于
abx轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即?f(x)dx＝A1＋A3－A2. ab2．定积分的性质 (1)?kf(x)dx?k?f(x)dx
aabb(2)?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx
aaabcbbbb(3)?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b)
aac3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么?f(x)dx
ab＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．