试卷答案
一、选择题
1-5: CBCBD 6-10: AACBD 11、12：AC 二、填空题 13. 4 14. 三、解答题
17.（1）设等差数列?an?的公差为d. 由题意，可得b4?24,b2?22,2整理，得2a4?a2aaa43925 15. ? 16. 223?4?2a2，
?4，即22d?4，解得d?1，
又a2?a1?d，故a1?a2?d?1， 所以an?a1??n?1?d?n.
bn?2n.
（2）
a2b1?a1b1?a3b2?a2b2???an?1bn?anbn??a2?a1?b1??a3?a2?b2????an?1?an?bn2?2n?2?b1?b2???bn??2n?1?21?2故a2b1?a1b1?a3b2?a2b2???an?1bn?anbn?2017，
2019， 2201920482019x因为f?x??2在R上为增函数，且f?9??512?， ,f?10???222可化为2n?1?2?2017，即2n?1?2019，即2n?所以n的最大值为9.
18.解：（1）取BC的中点G，连结DG，交AC于P，连结PE.此时P为所求作的点（如图所示）. 下面给出证明：
∵BC?2AD，∴BG?AD，又BC//AD，∴四边形BGDA是平行四边形， 故DG//AB即DP//AB.
又AB?平面ABF,DP?平面ABF，∴DP//平面ABF；
∵AF//DE,AF?平面ABF，DE?平面ABF，∴DE//平面ABF. 又∵DP?平面PDE,DE?平面PDE,PD?DE?D， ∴平面ABF//平面PDE，
又∵PE?平面PDE，∴PE//平面ABF.
（2）在等腰梯形ABCD中，∵?ABG?60,BC?2AD?4， ∴可求得梯形的高为3，从而?ACD的面积为
01?2?3?3. 2∵DE?平面ABCD，∴DE是三棱锥E?ACD的高. 设三棱锥A?CDE的高为h.
由VA?CDE?VE?ACD，可得?S?CDE?h?即
131S?ACD?DE， 31?2?1?h?3，解得h?3， 2故三棱锥A?CDE的高为3. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在?70,90?的频率为0.005?20?0.1， 再由?70,90?内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人， 则6?a?24?b?60，得a?b?30；
又由频率分布直方图可知，得分在?130,150?的频率为0.2，即
b?0.2， 60解得b?12,a?18. 进而求得c?18?0.015.
60?20（2）由频率分布直方图可知，得分在?130,150?的频率为0.2，
由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2， 设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n，则
n?0.2，解得n?600， 3000所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600. （3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1， 故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，
“良好”抽取4人，记为a,b,c,d，“优秀”抽取2 人，记为A,B， 则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd共15个，
事件A:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件， 所以所求概率P?A??8. 1520.（1）抛物线C的焦点F的坐标为?0,因为AO?AF???p??. 2?3， 2所以可求得A点坐标为??2p??136?p2,?.
4??41p36?p2??2p?， ?164将A点坐标代入x?2py得解得p?2，
故抛物线方程为x?4y.
2（2）依题意，可知l与x轴不垂直，故可设l的方程为y?kx?b， 并设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,M?x0,1?,PQ的中点M?x0,1?.
联立方程组??y?kx?b，消去y，得x2?4kx?4b?0， 2?x?4y所以x1?x2?4k,x1x2??4b. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以y1?y2?k?x1?x2??2b?4k?2b?2，即b?1?2k2.
2因为直线l与C交于P,Q，
所以??16k2?16b?0，得k2?b?0， 故k2?b?k2?1?2k2?0,k2??0,1?. 由y?kx?b，令x?0得y?b?1?2k， 故S?OPQ2??11?bx1?x2?1?2k2?22?x1?x2?2?4x1x2?2?1?2k22??1?k?，
2设t?1?2k2，则t???1,1?， 设y?1?2k2令y????213222t?11?k?t?????t?t?，
222123?2?3t?2t??t?t???0得t?0或t??， ?322?3?由y??0得t???1,???2??2??，由得y?0?0,1t??????,0?， 3??3?所以y?1322???2?t?t?的单调增区间为??1,??,?0,1?，单调减区间为??,0?， ?23???3?当t??222时，y?；当t?1时，y?1?，故ymax?1， 32727所以S?OPQ的最大值是2.
注：面积也可通过求弦长PQ和点O到直线PQ的距离建立，可参照上述类似给分.
x?12x?1??21.解：（1）f??x???， 2x?n?1e?x?n?1x?1e?????????2x?1x?1?， ??x?1?nx?ne?x?1x?ne????????令f??x??0得x1??1,x2?n.
① 当x1?x2，即n??1时，f??x???x?1?ex?1?0，故f?x?在R上单调递增，
2② 当x1?x2，即n??1时，令f??x??0，得n?x??1，所以f?x?在?n,?1?上单调递减； 同理，可得f?x?在???,n?,??1,???上单调递增.
③ 当x1?x2，即n??1时，令f??x??0，得?1?x?n，所以f?x?在??1,n?上单调递减； 同理，可得f?x?在???,1?,?n,???上单调递增.
综上可知，当n??1时，f?x?在?n,?1?上单调递减，在???,n?,??1,???上单调递增， 当n??1时，f?x?在R上单调递增，
当n??1时，f?x?在??1,n?上单调递减，在???,?1?,?n,???上单调递增. （2）由（1）知，当f?x?在R上单调递增时，n??1，故g?x??f?x??ex?1. 2x?1不妨设x2?x1，则要证
g?x2??g?x1?g?x2??g?x1?， ?2x2?x1只需证??g?x2??g?x1????x2?x1??2g?x2??g?x1?， 即证ex2?1?ex1?1?????x?2?x1??2?ex2?1?ex1?1?，
只需证ex2?x2?1?x2?x1??2ex2?x1?1， 令t?x2?x1，
则t?0，不等式ex2?x2?1?x2?x1??2ex2?x1?1可化为et?1t?2et?1. 下面证明：对任意t?0,et?1t?2et?1，
令h?x??ex?1x?2ex?1?x?0?，即h?x???x?2?e?x?2?x?0?，
x???????????????????则h??x???x?1?e?1，
x令??x??h??x???x?1?e?1?x?0?，则???x??xe?0，所以??x?在?0,???上单调递增，
xx