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www.jyeoo.com 16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值． 解答： 解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2； 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是， 所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：． 故答案为： 点评： 本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（II）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 综合题． 分析： （I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式． 解答： 证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q= ∴an=×=， Sn= 又∵==Sn ∴Sn= ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com （II）∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33 =﹣（1+2+…+n） =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣点评： 本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面 ABCD．
（I）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；证明题；综合题． 分析： （Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； （II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长． 解答： 解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=， 222从而BD+AD=AB，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． （II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD， 则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE， 则DE⊥平面PBC． 由题设知PD=1，则BD=，PB=2． 根据DE?PB=PD?BD，得DE=即棱锥D﹣PBC的高为． ， 点评： 此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 8 20 42 22 8 频数 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 4 12 42 32 10 频数 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数． 专题： 计算题；综合题． 分析： （I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 解答： 解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为 ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 [90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 X 2 4 ﹣2 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 点评： 本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上 （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 考点： 圆的标准方程；直线与圆相交的性质． 专题： 常规题型；综合题． 分析： （Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， 2
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www.jyeoo.com （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值． 2解答： 解：（Ⅰ）法一：曲线y=x﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有3+（t﹣1）=（2的半径为法二：圆x+y+Dx+Ey+F=0 x=0，y=1有1+E+F=0 y=0，x﹣6x+1=0与x+Dx+F=0是同一方程，故有有D=﹣6，F=1，E=﹣2 22即圆方程为x+y﹣6x﹣2y+1=0 （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组 ，消去y，得到方程2x+（2a﹣8）x+a﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①， 22222 22222）+t，解得t=1，故圆C22，所以圆C的方程为（x﹣3）+（y﹣1）=9． 22由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a=0② 2由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a＞0．故a=﹣1． 点评： 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型． 21．（12分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
．
+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析： （I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值． （II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式． 解答： 解：（I）． 由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1） 所以解得a=1，b=1 （II）由（I）知f（x）= ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 所以 考虑函数， 则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0， 当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得 ； 当从而当x＞0且x≠1时， 点评： 本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立． 22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x﹣14x+mn=0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
2
考点： 圆周角定理；与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；证明题． 2分析： （I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论． （II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小． 解答： 解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC， 即 又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C，B，D，E四点共圆．
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