广东省各地2014届高三11月模拟数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
1、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中）已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(??,0)时不等式f(x)?xf?(x)?0成立， 若
a?30.3?f(30.3),b?(log?3)?f(log?3),c?(log3)?f(log3)，则a,b,c的大小关系是（ ）
9911A. c?b?a B. c?a?b C. a?b?c D. a?c?b
答案：B
2、（汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试）已知函数y?f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x?(??,0)时xf?(x)?f(?x)成立（其中f?(x)是f(x)的导函数），若a?3f(3)，
11b?f(1)，c?(log2)f(log2)则a,b,c的大小关系是
44
A．c?a?b
B．c?b?a
C．a?b?c
D．a?c?b
答案：A
3、（汕头四中2014届高三第二次月考）已知函数f(x)?x?3x，若过点A?0,16?且与曲线
3y?f(x)相切的切线方程为y?ax?16，则实数a的值是( )
A.?3 B.3 C.6 D.9 答案：D
4、（珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考）一个物体的运动方程为s?1?t?t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 答案：C
二、填空题
1、（广东省百所高中2014届高三11月联考）曲线y?＿＿＿
答案：3x＋y－5＝0
??cosx,x?02、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）已知函数f?x???,则?2f?x?dx?2x?0?1,2x?1(x?0)在点（1,2）处的切线方程为＿2x
的值等于 . 答案：3
3、（广州市培正中学2014届高三11月月考）对于三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d（a?0），给出定义：设f?(x)是函数y?f(x)的导数，f??(x)是函数f?(x)的导数，若方程f??(x)?0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y?f(x)的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数
13125x?x?3x?，请你根据上面探究结果，解答以下问题： 321213125（1）函数f(x)?x?x?3x?的对称中心坐标为 ______ ；
32121232012)?f()?f()???f()= __________ . （2）计算f(20132013201320131答案：(,1) ；2012
21?4?4、（河源市东江中学2014届高三11月月考）曲线y?x3?x在点?1,?处的切线与坐标轴围成
3?3?f(x)?的三角形面积为 答案：
1 925、（江门市2014届高三调研）直线y?x和抛物线y?x所围成封闭图形的面积S? ．
答案：
1 636、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中） 已知函数y?x?3x?m的图像与x轴恰有两个公共点，则实数m＝ 。 答案：．－2或2
7、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中）曲线f(x)?处的切线的方程为 。 答案：x?2y?sinx1??在点M(,f(0))sinx?cosx24?4?0
28、（中山一中2014届高三上学期第二次统测）若函数f?x?的导函数f??x??x?4x?3，则函数
f?1?x?的单调减区间是 _____ 答案：
?0,2?
9、（中山一中2014届高三上学期第二次统测）一物体在力F(x)??作用下沿与力F相同的方向，
?5, 0?x?2,(单位：N)的
?3x?4, x?2从x?0处运动到x?4 (单位：m)处，则力F(x)做的功为 焦. 答案：36
10、（珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考）由曲线y?ex与直线x?0、直线y?e所围成的图形的面积为____________.
答案：1 三、解答题
1、（广东省百所高中2014届高三11月联考）
已知函数f(x)?ex?kx2,x?R （1）若k?1，求证：当x?(0,??)时,f（x）＞1； 2（2）若f（x）在区间(0,??)上单调递增，试求k的取值范围； （3）求证：
1
解：(1)f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，
2∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0， 1
∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.(5分)
2(2)f′(x)＝ex－2kx，下求使f′(x)＞0(x＞0)恒成立的k的取值范围． 若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，
1
当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
2于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，
2于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，
1e
由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，
22e
综上，k的取值范围为(－∞，]．(10分)
2
1
(3)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，
222
则ln(2x2＋1)＜2x，从而有ln(4＋1)＜2(n∈N*)，
nn
222222222
于是ln(4＋1)＋ln(4＋1)＋ln(4＋1)＋?＋ln(4＋1)＜2＋2＋?＋2＜2＋＋?＋
123n12n11×2211122222＝2＋2(1－＋?＋－)＝4－＜4，故(4＋1)(4＋1)(4＋1)?(4＋1)＜e4.(14分)
2n123n（n－1）×nn－1n2、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）
222x已知函数f?x???ax??a?1?x?a??a?1??e(其中a?R).
??(Ⅰ) 若x?0为f?x?的极值点,求a的值；
?12?x?x?1?； ?2?(Ⅲ) 若函数f?x?在区间?1,2?上单调递增,求实数a的取值范围.
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式f?x???x?1??22【解析】(Ⅰ)因为f?x???ax2??a?1?x?a??a?1??ex
??所以
f?????????x??2?????????????0因为x?0为f?x?的极值点,所以由f??0??ae?0,解得a?0?????3分
x检验,当a?0时,f??x??xe,当x?0时,f??x??0,当x?0时,f??x??0. 所以x?0为f?x?的极值点,故a?0.?????4分 2???????2???2分x 1(Ⅱ) 当a?0时,不等式f?x???x?1??整理得
?12??1?x?x?1???x?1??ex??x?1??x2?x?1?, ?2??2??x?1?0?12???,即或??x1?x0?x?1??x?e??x?12?????2????e??2x?x?1??0????x?1?0??6分 ?x?12??e??2x?x?1??0????12?xxx令g?x??e??x?x?1?,h?x??g??x??e??x?1?,h??x??e?1,
?2?xx当x?0时,h??x??e?1?0；当x?0时,h??x??e?1?0,
所以h?x?在???,0?单调递减,在(0,??)单调递增,所以h?x??h?0??0,即g??x??0, 所以g?x?在R上单调递增,而g?0??0；
?12??1?x?x?1??0?x?0；ex??x2?x?1??0?x?0, ?2??2?所以原不等式的解集为?xx?0或x?1?；??????????9分
故e??x(Ⅲ) 当a?0时,f??x???ax?a?1x?a??e
22x??因为x??1,2?,所以f??x??0,所以f?x?在?1,2?上是增函数. ????????11分
当a?0时,f??x??a?x?a??x?????1?x??e, x??1,2?时,f?x?是增函数,f??x??0. a?
① 若a??1,则f??x??a?x?a??x???1?x?1??1?,由e?0?x??,?a1,2????????,?a?得
a??a??a?1?a???1?a???1?a?a??2；
② 若?1?a?0,则f??x??a?x?a??x???ex?0?x???a,??,由?1,2????a,??得
??1??a?0. 22x③ 若a??1,f??x????x?1??e?0,不合题意,舍去.
综上可得,实数a的取值范围是???,?2????(亦可用参变分离或者图像求解).
3、（广州市培正中学2014届高三11月月考） 已知函数f(x)?x2?(2a?1)x?alnx。
（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）当a?0，且a??1?,??? ???????????14分 ?2?1，求函数f(x)的单调区间。 2解：(1)当a＝2时，
f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x ＝x2－5x＋2ln x，
2
∴f′(x)＝2x－5＋，(2分)
x
∴f′(1)＝－1， 又f(1)＝－4，(4分)
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.(5分)
2
a2x－（2a＋1）x＋a
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝(x>0)，
xx1
令f′(x)＝0，可得x1＝，x2＝a.(6分)
211
①当a>时，由f′(x)>0?x>a或x<，
22
11
f(x)在(0，)，(a，＋∞)上单调递增．由f′(x)<0?
f(x)在(，a)上单调递减．(9分)
2
11
②当00可得f(x)在(0，a)，(，＋∞)上单调递增．
221
由f′(x)<0可得f(x)在(a，)上单调递减．(12分)
24、（广州增城市2014届高三上学期调研） 设f?x??lnx?
a. x2