aa；由f'(x)?0，得0?x? 22aa所以函数的单调增区间为(,??)，单调减区间为(0,) ?????
22当a?0时，由f'(x)?0，得x???6分
（Ⅱ）因为x1,x2是函数f(x)的两个零点，有0?x1?x2,a?0 则x12?(a?2)x1?alnx1?0，x22?(a?2)x2?alnx2?0 两式相减得x12?(a?2)x1?alnx1?x22?(a?2)x2?alnx2?0
即x12?2x1?x22?2x2?ax1?alnx1?ax2?alnx2?a(x1?lnx1?x2?lnx2)
x12?2x1?x22?2x2所以a? ???????????8分
x1?lnx1?x2?lnx2又因为f'()?0，当x?(0,)时，f'(x)?0；当x?(,??)时，f'(x)?0
a2a2a2x1?x2ax12?2x1?x22?2x2?即可，即证明x1?x2?故只要证 ???????10分 22x1?lnx1?x2?lnx2
即证明x12?x22?(x1?x2)(lnx1?lnx2)?x12?2x1?x22?2x2， 即证明lnx12x1?2x2?， ??????????????12分 x2x1?x2设t?2t?2x1(0?t?1).令g(t)?lnt?，
t?1x2(t?1)214则g'(t)??，因为t?0，所以g'(t)?0，当且仅当t?1时，g'(t)?0 ?22t(t?1)t(t?1)所以g(t)在(0,??)是增函数；又因为g(1)?0，所以当t?(0,1)时，g(t)?0总成立. 所以原题得证. ??????????????14分
10、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中） 已知f(x)?x?ax?1nx,a?R。
（1）若a=0时，求函数y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程； （2）若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）令g(x)?f(x)?x,是否存在实数a，当x?(0,e](e是自然对数的底）时，函数g(x)的
22
最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解 (1)当a=0时，f(x)=x2-lnx , f(1)?1，切点为（1, 1）。
1f?(x)?2x? ∴所求切线的斜率k=f?(1)?1
x∴曲线在点（1，f(1)）处的切线方程为y-1=x-1即x-y=0. ------------------4分
12x2?ax?1?0在[1,2]上恒成立。--------6分 (2)∵函数在[1,2]上是减函数，∴f?(x)?2x?a??xx令h(x)=2x2+ax-1, 则h(2)?0，解得a??7 ------------8分 2（3）假设存在实数a，使g(x)?ax?lnx(x?(0,e])有最小值
g?(x)?a?1ax?1? -----------9分 xx
11、（汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试） 已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，a?R． x?1(Ⅰ)若x?2是函数f(x)的极值点，求曲线y?f(x)在点?1,f(1)?处的切线方程； (Ⅱ)若函数f(x)在(0,??)上为单调增函数，求a的取值范围； (Ⅲ)设m,n为正实数，且m?n，求证：
m?nm?n?．
lnm?lnn21a(x?1)?a(x?1)(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?1解: （Ⅰ）f?(x)????.……2分 222x(x?1)x(x?1)x(x?1)
由题意知f'(2)?0，代入得a?从而切线斜率
9，经检验，符合题意。 41k?f'(1)??，切点为?1,0?，
8切线方程为x?8y?1?0 ………4分
x2?(2?2a)x?1（Ⅱ）f?(x)?. 2x(x?1)因为f(x)在(0,??)上为单调增函数，所以f?(x)?0在(0,??)上恒成立.
即x2?(2?2a)x?1?0在(0,??)上恒成立.1当x?(0,??)时,由x2?(2?2a)x?1?0,得2a?2?x?.x111设g(x)?x?,x?(0,??).g(x)?x??2x??2.xxx1所以当且仅当x?,即x?1时,g(x)有最小值2.x
所以2a?2?2.所以a?2.所以a的取值范围是(??,2]. ………8分
mm?1?1m?nm?nnn?（Ⅲ）要证，只需证， ?mlnm?lnn22lnnmm?1)2(?1)mmn即证ln?.只需证ln?n?0.
mmnn?1?1nn2(
………14分
12、（汕头四中2014届高三第二次月考）
已知二次函数f(x)?ax?bx?c,(a?0),且不等式f(x)?2x的解集为(?1，2).
2
(1)方程f(x)?3a?0有两个相等的实根,求f(x)的解析式. (2) f(x)的最小值不大于?3a,求实数a的取值范围.
2(3) a如何取值时,函数y?f(x)?(x?ax?m)(|m|?1)存在零点,并求出零点.
解：∵f(x)?2x的解集为(?1，2),
∴ax2?（b?2）x?c?0的解集为(?1，2), ????????1分 ∴a?0,且方程ax2?（b?2）x?c?0的两根为?1和2
a?b?2?c?0即???b?2?a，∴f(x)?ax2???4a?2b?4?c?0?c??2a?(2?a)x?2a,(a?0) ??2分 （1）∵方程
f(x)?3a?0有两个相等的实根,即ax2?(2?a)x?a?0有两个相等的实根
∴??(2?a)?4a?0?3a?4a?4?0, ∴a??2或a?2222 ????3分 3 ∵a?0,∴a?2, ∴f(x)?2x2?4x?4 ????4分
33332?a2?8a2?(2?a)2 （2）f(x)?ax2?(2?a)x?2a?（ax?）?2a4a?8a2?(2?a)2∵a?0,∴f(x)的最小值为, ????????5分
4a222则?8a?(2?a)??3a,3a2?4a?4?0,解得?2?a?, ????7分
4a3∵a?0,∴0?a?2 ????????????8分 322（3）由y?f(x)?(x?ax?m)?0,(a?0,m?1),得(a?1)x?2x?(2a?m)?0 (※)
①当a?1时,方程(※) 有一解x?2m?1, 2m?1； ????????9分 2函数y?f(x)?(x?ax?m)有一零点x?2②当a?1时, ??4?2a?(m?2)a?(1?m)???
22方程(※)有一解???4??2a?(m?2)a?(1?m)???0, 令?1?4m?4m?4?0
得m?22?2或m??22?2, ?|m|?1即m?1或m??1，
? i)当m?1，a?2?m?4m2?4m?4时，（2?m?4m2?4m?4（负根舍去）），函数a?44y?f(x)?(x2?ax?m)有一零点x?1. ?????10分 1?a4422ii) 当m??22?2时，a的两根都为正数，?当a?2?m?4m?4m?4或a?2?m?4m?4m?4时，函数y?f(x)?(x?ax?m)有一零点x?21.11分 1?aⅲ) 当?22?2?m??1时，?1?4m2?4m?4?0，???0
2③方程(※)有二解???4?2a?(m?2)a?(1?m)????0,
i)
2若m?1,?1?4m2?4m?4?0，a?2?m?4m?4m?4时,
422（a?2?m?4m?4m?4（负根舍去）），函数y?f(x)?(x?ax?m)
422?2a?(m?2)a?(1?m)???1?2a?(m?2)a?(1?m)； ?12分 有两个零点x1,2??2?4??2?a?1?a?1ii)
22函数y?f(x)?(x?ax?m)有两个零点x1,2??1?2a?(m?2)a?(1?m)。??13分
a?1ⅲ) 当?22?2?m??1时，?1?4m2?4m?4?0，???0恒成立，
?a取大于0(a?1)的任意数，函数y?f(x)?(x2?ax?m)有两个零点
x1,2??1?2a2?(m?2)a?(1?m) a?1 ?14分
13、（中山一中2014届高三上学期第二次统测） 已知函数f(x)?(2?a)(x?1)?2lnx，g(x)?xe（1）当a?1时，求f(x)的单调区间；
（2）对任意的x?(0,),f(x)?0恒成立，求a的最小值；
（3）若对任意给定的x0??0,e?,在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2)，
使得f(xi)?g(x0)成立，求a的取值范围。
1?x(a?R,e为自然对数的底数)
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