解：（1）当a?1时，f(x)?x?1?2lnx,f?(x)?1?由f?(x)?0,x?2，由f?(x)?0,0?x?2.
2, x故f(x)的单调减区间为?0,2?,单调增区间为?2,???. （2）即对x?(0,),a?2?????3分
122lnx恒成立。 x?122(x?1)?2lnx2lnx??22lnx1x,x?(0,)，则l'(x)??x?, 令l(x)?2?2x?12(x?1)(x?1)22122?2(1?x)?2,x?(0,),m?(x)??2???0, x2xxx211m?x?在(0,)上为减函数，于是m(x)?m()?2?2ln2?0,
2211'从而，l(x)?0，于是l(x)在(0,)上为增函数,l(x)?l()?2?4ln2,
222lnx故要a?2?恒成立，只要a??2?4ln2,???,即a的最小值为2?4ln2 ?7分
x?1再令m(x)?2lnx?（3）g?(x)?e1?x?xe1?x?(1?x)e1?x,当x?(0,1)时，g?(x)?0,函数g(x)单调递增； 当x??1,e?时，g?(x)?0，函数g(x) 单调递减?g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1?e?0,
所以，函数g(x)在?0,e?上的值域为?0,1?. 当a?2时，不合题意； 当a?2时， f?(x)?2?a?故0?
此时，当x 变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下：
2(2?a)x?2??xx(2?a)(x?x2)2?a,x??0,e?
22?e,a?2? ① 2?aex f?(x) (0,2) 2?a— 2 2?a0 最小值 ?2? ,e???2?a?+ 单调增 f(x) 单调减
?,x?0,f(x)???, 22f()?a?2ln,f(e)?(2?a)(e?1)?22?a2?a?,对任意给定的x0??0,e?，在区间?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2),
使得f(xi)?g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件 ②22??f()?0,a?2ln?0,?? ③ 即?2?a?2?a???f(e)?1,?(2?a)(e?1)?2?1.令h(a)?a?2ln22,a?(??,2?), 2?ae2ah?(a)?1?2[ln2?ln(2?a)]??1??,令h?(a)?0，得a?0,a?2,
2?aa?2当a?(??,0)时，h?(a)?0,函数h(a)单调递增 当a?(0,2?)时，h?(a)?0,函数h(a)单调递减
所以，对任意a?(??,2?),有h(a)?h(0)?0,
2e2e2e3. ④ 由③式解得：a?2?e?1综合①④可知，当a????,2?即②对任意a?(??,2?)恒成立。
??3?时,对任意给定的x0??0,e?, ?e?1?在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2), 使f(xi)?g(x0)成立。????14分 14、（珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考）
2已知函数f(x)?x?alnx(a?R)
（1）若函数f(x)在x?1处的切线垂直y轴,求a的值； （2）若函数f(x)在(1,??)为增函数，求a的取值范围； (3) 讨论函数g(x)?f(x)?(a?2)x的单调性.
2解：（1）因为f(x)?x?alnx，故f?(x)?2x?a， ??1分 x函数f(x)在x?1处的切线垂直y轴，所以f?(1)?2?a?0?a??2 ??3分
（2）函数f(x)在(1,??)为增函数，所以当x?(1,??)时，f?(x)?2x?2a?0恒成立，分离参x数得：a??2x，从而有：a??2. ??7分 （3）g(x)?f(x)?(a?2)x?x2?(a?2)x?alnx
a2x2?(a?2)x?a(x?1)(2x?a)g?(x)?2x?(a?2)??? ??10分
xxx令g?(x)?0?x1?1,x2?（1）当
a，因为函数g(x)的定义域为(0,??)，所以 2a?0，即a?0时，函数g(x)在(0,1)上递减，在(1,??)上递增； ??11分 2aa?1，即0?a?2时，函数g(x)在(0,)上递增， 22（2）当0?在(,1)上递减，在(1,??)上递增 ??12分
a2（3）当
a?1，即a?2时，函数g(x)在(0,??)上递增； ??13分 2aaa?1，即a?2时，函数g(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，在(,??)上递
222（4）当
增. ??14分
15、（珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考） 已知函数f(x)?x(1?lnx),(x?1)
x?1（1）设x0为函数f(x)的极值点，求证: f(x0)?x0；
（2）若当x?1时，xlnx?(1?k)x?k?0恒成立，求正整数k的最大值. 解：（1）因为f(x)?x(1?lnx)x?2?lnx,(x?1)，故f?(x)?, ??2分
x?1(x?1)2?x0为函数f(x)的极值点,
?f?(x0)?0, ??3分
即x0?2?lnx0?0,于是x0?1?1?lnx0, 故f(x0)?x0(1?lnx0)x0(x0?1)??x0 ??5分
x0?1x0?1
(2) xlnx?(1?k)x?k?0恒成立,分离参数得k?x(1?lnx)?f(x) ??7分
x?1则x?1时，f(x)?k恒成立，只需f(x)min?k，
f?(x)?1x?2?lnx??g(x)?1??0， ??9分 ，记，g(x)?x?2?lnx2(x?1)x?g(x)在(1,??)上递增，又g(3)?1?ln3?0,g(4)?2?ln4?0， ?g(x)在(1,??)上存在唯一的实根x0，
且满足x0?(3,4)， ?当1?x?x0时g(x)?0，即f?(x)?0；当x?x0时g(x)?0，
即f?(x)?0,
f(x)min?f(x0)?x0?(3,4),
故正整数k的最大值为3
??11分
??14分