?4、 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E????.
E?dl?0C和C2为由P点到P点的两条不同路径。?答：由于静电场的无旋性，得： 设112C1与－C2合成闭合回路，因此
C1?E?dl??E?dl?0C2
即
C1?E?dl??E?dlC2 因此，电荷由
PP2点时电场对它所作的功与路径无关，1点移至而
P2只和两端点有关。把单位正电荷由
P1点移至P2,电场
E对它所作的功为：
P1?E?dl,这功定义为
P2?P1点和P2点的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势
??P2????P1????E?dl下降。由此，
P1由
这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
相距为dl的两点的电势差为 因此，电场强度E等于电势
d???E?dl.由于
E????.
d????????dx?dy?dz????dl，?x?y?z
?的负梯度
5、
??试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程?A???j。
21）B???A(2)代入（1） 答：已知恒定磁场方程??B??0J（（在均匀线性介质内），把得矢
势A的微分方程
?????A???J.由矢量分析公式 ?????A??????A???2A.若取A满足
?2A???J.规范条件??A?0 ，得矢势A的微分方程 ???A?0?
6、试由电场的边值关系证明势的边值关系?2?n??n???2????11???. ??1?n证：电场的边值关系为：
????E2?E1?0,?$???D2?D1??.?*???，
?*?式可写为 D2n?D1n???@?
???D??E及E????,可用标势将?@?表为：
式中n为由介质1指向介质2的法线。利用
?2
??2????11???.??1?n
势的边值关系即得证。
11
7、 试由静电场方程证明泊松方程?2????。 ????E?0,(1)? 答：已知静电场方程为：???D??.(2)并知道 E????.(3)在均匀各向同性线性介质中，
D??E，将（3）式代入（2）得
方程，即泊松方程。
?2?????，
?为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分
8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。
答：麦克斯韦方程组
?(x)???E(x)???0??B?x????E(x)????t???B?x??0??E?x????B?x???0j?x???0?0?t表明，变化的磁场可以激发电场，而变化?的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的
－?2E(x)??第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到
????B?x???t，再把第四个方程对时间求
????B?x???t导，得到
????B?x???2E?x???0?0?t?t2，从上面两个方程消去，得到
1?2E?x??c.?E?x???0?0?0?0?0?t2。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是
29、
试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件?????????n?E2?E1?0;n?D2?D1??;n?B2?B1?0. ????D?ds???dV??????????即：?Sn?D2??Sn?D1???S.????n?D2?D1??fSV??解：D2n?D1n?????B?ds?0对于磁场B，把
S
应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：
???B2n?B1n即：n?B2?B1?0
?? 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为?l，
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短边边长为?l。因为
''?E?dl?0，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于?l比?l小得多，当?l''?0时，E沿?l积分为二级小量，忽略沿?l的路径积分，沿界面切线方向积分为：
'E2t?l?E1t?l?0 即：
E2t?E1t?0,?*?。?*?可以用矢量形式表示为：
式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。
????E2?E1?t?0?@?
?''?#? t?n?tt 令矩形面法线方向单位矢量为，它与界面相切，显然有
将
?#?式代入?@?式，则
?????E2?E1?n?t'?0,?$????，利用混合积公式
??????A?B?C?C?A?B??????'????#t?E?E?n?0此式对任意t'都成立，因此 21，改写式为：
????????E2?E1?n?0，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。
???210、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程?E?kE?0
2答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有D??E,B??H，把时谐
E?x,t??E?x?e?iwt,?iwt????Bx,t?Bxe.电磁波的电场和磁场方程：
代入麦氏方程组
?B???E??,??t????H??D,?t???D??0,?????B?0. 消去共同因子
e?iwt后得
???E?iw?H,???H??iw?E,?????E?0,????H?0.在此注意一点。在w?0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取
?????E??0，因而??H?0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。
第一式的散度，由于
在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 取
第
一
式
旋
度
并
用
第
二
式
得
?????E??w2??E 由
?????E??????E???2E???2E，上式变为
??2E?k2E?0,??k?w??.此为亥姆霍兹方程。
11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，
导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。
?证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内E1?0，而：
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??????n?(E2?E1)?0,?n?E2?0,故E0垂直于导体表面。
????0.?导体外E2?0,即：D2?0（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面f。
?????????n?(D2?D1)??f?0,即：n?D1?n??0E1?0?n?E1?0而：，。导体内电场方向和法
线垂直，即平行于导体表面。
12、
???设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z?x,t?（赫
?1?Z?. 兹矢量），若令????Z,证明A?2c?t?证明：A和?满足洛伦兹规范，故有
?1?????A?2?0.??????Z代入洛伦兹规范，有：c?t
??1????1?Z????A?2????Z?0,即??A＝???2???tc?c?t???1?Z?A?2.?tc
??2、 计算题：
1、真空中有一半径为R0接地导体球，距球心为a?a?R0? 处有一点电荷Q，求空间各点的电势。
''QQ解：假设可以用球内一个假想点电荷来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，应在
OQ连线上。关键是能否选择Q'的大小和位置使得球面上?＝0的条件使得满足？
考虑到球面上任一点P。边界条件要求
QQ'??0.r'为Q'到P的距离。rr'式中r为Q到P的距离，
因此对球面上任一点，应有
r'Q'???常数。（1）rQ
由图可看出，只要选
Q'的位置使
?OQ'P~?OPQ,则
2RRbR00r?,或b?.?3?＝0?常数。（2）'RaaQ距球心为b，ra 设两三角形相似的条件为0由（1）'Q'??和（2）式求出
R0Q.(4)'Qa（3）和（4）式确定假想电荷的位置和大小。
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'?＝0的边界条件，因此是空间中电场的正确解QQ 由和镜象电荷激发的总电场能够满足在导体面上
答。球外任一点p的电势是：
Q??R0RQ1?Q1?Q?a0??＝???'??22?4??0?rar?4??0?R2?a2?2Racos?R?b?2Rbcos????? 式中r为
''Q?为OP与OQ的夹角。Qr由到P点的距离，为由到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，
2、两金属小球分别带电荷?和－?，它们之间的距离为l，求小球的电荷（数值
和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。
??1??ikRB?Pesin?e?,4??0c3R??1??ikRE?Pesin?e?.24??0cR解：可知赫兹振子激发的电磁场：（取球坐标原点在电荷分布区内，
并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡，E沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：
?1?*??*????pcc?2?2?S?ReE?H?ReB?n?B?Bn?sin?n.23222?02?032??0cR
??????2因子sin2?表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在??900的平面上辐射最强，而沿电偶极
矩轴线方向
???0和??没有辐射。
3、已知海水的 ?r?1,??1s?m?1 试计算频率 v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。 解：取电磁波以垂直
于海水表面的方式入射，透射深度
?＝1??2?????r?1????0?r??0?4??10?7?1?v?50Hz时：?1?2?v?106Hz时：?2?3?v?109Hz时：?3?22?72m?72??50?4??10?12?0.5m2??106?4??10?7?12?16mm9?72??10?4??10?1
???2??????2???4、电荷Q均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算
电场的散度。
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