解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径
向。当r?a时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得
2E?ds?4?rE??Q?0,
E? 因而
Q4??0r2,写成矢量式得
E?Qr.?r?a??@?34??0r
若
r?a,则球面所围电荷为：
4343QQr3?r???r?3.433a?a33
2Qr3?E?ds?4?rE??0a3.应用高斯定理得：
E?由此得
Qr.?r?a??*?34??0a
r?a时E应取
现在计算电场的散度。当
?@?式，在这区域r?0，由直接计算可得
??r?0,?r?0?r3
??E? 因而
Q4??0??r?0.?r?a?3r
??E?Q4??0a??r?33Q??.?r?a?3?4??0a0
当r?a时E应取?*?式，由直接计算得
5、 一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为?，球内有一不带电的球形空腔，其半径为R1，偏心距离为 a，（a?R1?R）求腔内的电场。
????的R球与带负电的????的R1球的迭加而成。因此利用场的迭加
解：这个带电系统可视为带正电
????????'E?r?r3?03?0?3?0??3?0原理得球形空腔的一点M之电场强度为：
????r?r?'?a
6、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为??f 求电场和束缚电荷分布。
16
?n??E2?E1??0,?n??H?H???,?21?*????n?D?D??,21??n??B2?B1??0.解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把?应用于下板与介质1界面上，
因导体内场强为零，故得
D1??f.同样把
?*?式应用到上板与介质2界面上得D2??f. 由这两式得
?f?0，由
?f?fE1?,E2?.?1?2
束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处，
??0?0??p??0?E2?E1????????f.?0?E2n?E1n???f??p??1??2得
在
介
质
1
与
下
板
分
界
处
，
由
?0?E2n?E1n???f??p得
?'p???f??0E1???f??1??在介质2与上板分界处，
??0??,??1?
?'p'??f??0E2??f??1?
???0??.'??0,?2?容易验证，?p??'p??'p介质整体是电中性的。
7、截面为S ，长为l的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b ，若极
??kx化强度为 ，沿X轴 P?kxi 。求：
??（1） 求每端的束缚电荷面密度?；（2）求棒内的束缚电荷体密度?。（3）总束
缚电荷。
''解：（1）求?‘在棍端 P2n?P，P2?P2n?01n??，P?kx 1n??? P'?A??P1n?A??P/x?b??kb???P1n?B?P/x?b?1?k(b?l)'B
????????P，P?kxi'（2） 求? 由 ' dp?????kdx'''（3） 求q' q'??B??AS??'Sl??k?b?l??kb?S?ksl?0
??8、两块接地的导体板间的夹角为?，当板间放一点电荷q时，试用镜像法就
?＝900、600的情形分别求其电势。 解：
设点电荷q处于两导体面间
?R，0?一点，两导体面间夹角为?，各象电荷处在以R为半径的圆周上，
17
?它们的位置可用旋转矢量R表示，设q及其各个象电荷的位置矢为R?0、R?1、??，则有
?
R0?Rei，
R??i?2??????Rei?2????，R???i?2??i?1?R0e2?R0e?ReR?，?R?31e?i?2?2?????Re?i?2????，R??i?2????????4?R2e?Rei?2?R?R??R?，i?2?2??????5?3e?Rei?4????，?i?2?2?????2????R?6?RR?4e?Re?i，?i?2?4?????i?4????7?5e?ReR??，i?2?2??????8?R6e?Rei?4????.
???，R?i???????21?Re，R2?Re?i， R??Re?i??????3，R4?Rei?????，i?1）?????2???????，e?????e?i?????，
?R?R?4?3，象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为：
x1??Rcos?，x2?Rcos?，x3??Rcos?，y1?Rsin?，y2?－Rsin?，y3??Rsin?.
??q??1114????r?r??1??01r2r3??式中 r??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2，r1??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2，r2??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2，空间任意一点的电势
r3??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2.
?＝?，R?i??2?????R?i?31?Re?3?，2?Re?. R??i??2?3??????i??2??3???3?Re??，R4?Re??，R?i??4??????，R??i??2?????5?Re?36?Re?3?.?2??????2??????4????2?，ei??3??????3?????3?3?ei??4??，2)
R??
6?R5，象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为：
18
?2?????x1?Rcos??????Rcos????，?3??3?x2?Rcos?，?2?????y1?Rsin?????Rsin????，y2??Rsin?,?3??3??2?????x3?Rcos??????Rcos????,?3??3??2?????x4?Rcos??????Rcos????，?3??3??2?????y3??Rsin??????Rsin????，?3??3??2?????y4?Rsin?????Rsin????，?3??3??4?????x5?Rcos??????Rcos????，?3??3??4?????y5?Rsin??????Rsin????.?3??3?q?111111???????????4??0?rr1r2r3r4r5??各个r由相应的象电荷坐标确定。
9、在一平行板电容器的两板上加 U?v0coswt的电压，若平板为圆形，半径为a，板间距离为d，试求
?（1）、两板间的位移电流jD；
（2）、电容器内离轴r处的磁场强度； （3）、电容器内的能流密度。
????vw?D?E?E??U???UjD???,jD?????????0Sinwt?t?t?t??d?d?td??vw??解：jD?jDez??0Sinwtezd（1）
19
???H?dl??ID2?rH?jD?r2?vwjDr??0rSinwt22d??vw?H??0rSinwte?2dr?a时，??vw? Ha??0aSinwte?2d （2）
H?（3）s侧???2????a2v0wuE?H?ds?2?adHa?2?auHa?SinwtCoswtdd?
10、静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：
S系的观察者看到长度为
l01??2到
???????vv?vi?的车厢以运动，又看到小球以u?ui追赶车厢。
前
壁
所
需
的
时
间
为
：
小球从
2后壁
2?1?vu0?vu?v?v??2u1?020u0?vc?c2?c?t? 。u?，u?v??，vuvuvuu?v1?021?021?02cccvu?l0??1?02?1v'c??'?'??t??或t2?t1'?l0u0，t2?t1?t2?t1'?2x2?x1'??c?x2'?x1'?l0u01?v2c21?v2c2?l01?v???????l0l0v??vu0??l???1?2?20?22uc?v?0c?u1?v2?01?cc2?11、求无限长理想的螺线管的矢势A （设螺线管的半径为a，线圈匝数为n，通?1电电流为I）
??'???0Jx??'''解：A?dV，JxdV?Idl?4?Vr分析：。
??????A?dl??B?ds，又对于理想的无限长螺线管来说，它的B为：?0nI????ls
2B??0nI2??0nI?2?rA??rB?????2?rA??r?0nI?A?rey2（1）当r?a时，可得：
20