复变函数复习提
纲
(一)复数的概念
x1?iyx?i?2y???z1x1?iyx?xy12121y???1?i222z2x2?iyx?i2y?2x?i2y?2x2y??2?2?y1x22?21.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数,
x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.
注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值
arg?z?是位于(??,?]中的幅角。
3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下： 当x?0, argz?arctanyx；
?y 当x?0,??y?0,argz?arctan?x???y； ??y?0,argz?arctanx??4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中
??argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z?zei?，其中??argz。 (二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
。
2）若z1?z?1ei1,z2?z2ei?2, 则
z1z2?zi??1??2?1z2e；
z1z1i??1??2?z?e 2z23.乘幂与方根
1） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
zn?zn(cosn??isinn?)?znein?。
2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nz?z1n???cos??2k???2k??n?isinn??（有n个相异的值） （三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。 注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对
数
函
数
：
Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,1,2?
； (k?0,?1,?2?)（多值函数）主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原
面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1
）
点
可
导
：
点及负实轴的z平面内处处解析，且
?lnz???1； zf??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?；
?z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析；
2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析；
zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。 4
）
三
角
函
数
：
eiz?e?izeiz?e?izsinz?,cosz?2i23）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的
sinzcosz,tgz?,ctgz?奇点； coszsinz3．解析函数的运算法则：解析函数的和、
sinz,cosz在z平面内解析，且
差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：
z????sincozsz?o?s??,c?zsin
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同） 4） 双
曲
函
数
f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
ez?e?zez?e?zshz?,chz?；
22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平
1
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在
?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质 1．
复变函数积分的概念：
n?u?v?i。 此时， 有f??z???x?x2．函数解析的充要条件：
f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且
满
足
C?D条件：
?f?z?dz?lim?f????zcn??kk?1k，c是光滑
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2．
c?u?v?i。 此时f??z???x?x注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域
D内是可微的。因此在使用充要条件
复变函数积分的性质
c1）?f?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；
证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数
f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
2）?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?ccc是常数；
3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则
3．函数可导与解析的判别方法
1
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以如第二f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，章习题2）
起点，?对应曲线c的终点，则
2
c?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。
cc1c23．复变函数积分的一般计算法
）
化
c为线
c积分：
（常?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；用于理论证明）
2）参数方法：设曲线c：
z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的
?cf?z?dz??f[z?t?]z?(t)dt。
??内的一个原函数，则
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连
?
z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B) 说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积
域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 分与积分路径无关，计算时只要求出原函
??f?z?dz?0
c数即可。
5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则??2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D
内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以
c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则
f?z?dz?2?if?z0? cz?z06．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
①
??f?z?dz????f?z?dz, 其
cnk?1ck
中c与ck均取正向；
②
??f?z?dz?0，其中?由c及
?f?z?2?i?n?dz???c(z?z0)n?1n!f?z0?
(n?1,2?)c?1(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。 3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B
3
其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：
?2?i,1dz??n?1??(z?a)?0,cn?0n?0。
（c是包含a的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法
1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法?f?z?dz??f[z?t?]z??t?dt
c（八）解析函数与调和函数的关系 1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足
??2）设f?z?在区域D内解析，
? c是D内一条正向简单闭曲线，则由
柯西—古萨定理，??f?z?dz?0
c?2??2??2?0， 2?x?y?(x,y)为D内的调和函数。 2．解析函数与调和函数的关系
? c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应
曲线c的起点和终点，则有
? 解析函数f?z??u?iv的实部u与虚
部v都是调和函数，并称虚部v为实部
?f?z?dz??cz2z1f?z?dz?F?z2??F?z1?
3）设f?z?在区域D内不解析
? 曲线c内仅有一个奇点：
?f?z?dz?2?if?z0????cz?z?0（f(z)?f?z?2?i?n??dz?f?z0????c(z?z)n?1n!0?f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是
u的共轭调和函数。
? 两个调和函数u与v构成的函数
若u,v如果满足柯西—
黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。 3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件，得
?v?v,； ?x?y在c内解析）
? 曲线c内有多于一个奇点：
??fc?z?d?z???fk?1ckn?z?（dzci内只有一
个奇点zk） 或：
??fc?z?d?z2??iRek?1n[s(fk)z,z]对
v???v?u??y?x两边积分，得
（留数基本定理） ? 若被积函数不能表示成
?udy?g?x? （*） ?xf?z?，则
(z?zo)n?1再对（*）式两边对x求偏导，得
?v???u????dy??g??x? （**） ?x?x??x?4
须改用第五章留数定理来计算。