说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f?z?在c内F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?F(w?w0)
? 位移性推论：
各孤立奇点处留数的局部问题。
积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念 ? F[f(t)]??????f(t)e?jwtdt?F(w)
? F?1[F(?)]?1??2????F(?)ej?td??f(t)二、几个常用函数的傅里叶变换 ? F[e(t)]?1??j? ? F[u(t)]?1j????(?) ? F[?(t)]?1 ? F[1]?2??(?) 三、傅里叶变换的性质 ? 位
移
性
（
时
域
）：
F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)] ? 位
移性（频域）：
F[sinw0tf(t)]?12j[F(w?w0)?F(w?w0)]
? 位
移
性
推
论
：
F[cosw10tf(t)]?2[F(w?w0)?F(w?w0)]
? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w)
（t???,f(t)?0），
F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
? 微
分性（频域）：
F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w)
? 相似性：
F[f(at)]?1aF(wa) (a?0 )四、拉普拉斯变换的概念 ? L[f(t)]?????st0f(t)edt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
? L[ekt]?1s?k； ? L[tm]??(m?1)sm?1?m!sm?1(m是自然数)；（
10
1?(1)?1,?()??,?(m?1)?m?(m)）
21? L[u(t)]?L[1]?；
s七、卷积及卷积定理 ?
f1(t)*f2(t)??????f1(?)f2(t??)d?
? L[?(t)]?1 ? L[sinkt]? ? L[shkt]? ? 设
f(t?T)?f(t)k,s2?k2L[chkt]?ss2?k2k,22s?kL[coskt]?ss2?k2? F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) ? F[f1(t)?f2(t)]?1F1(w)?F2(w) 2?? L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) 八、几个积分公式 ?
，
则
?
( ?
??????f(t)?(t)dt?f(0)
???????0f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
T1L[ft?(?Ts?)ft]dt。（f(t)是以
01?e??f(t))dt??L[f(t)]ds??F(s)ds1
00tT为周期的周期函数） 1 ?
域
）：
7六、拉普拉斯变换的性质 ? 微
分
性
（
时
???0f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
模拟试卷一
一.填空题
L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?s2F(s)?sf(0)?f?(0)
? 微分性（频域）：L([)?tft]?F?s????，
1. 2.
I=
?1?i???? . ?1?i?sinz?dz,其中c为z?a?0的正向L[(?t)nf?t?]?F(n)?s? ? 积分性（时域）：L[?t0F?s?f?t?dt]?
s??z?ecz?f?t?]??F?s?ds? 积分性（频域）：L[st,则I= .
（收敛）
? 位移性
3.
（
时
域 ）：
1tan能否在0?z?R内展成
zL[eatf?t?]?F?s?a?Lraurent级数？ 4．其中c为
2? 位移性（频域）：L[f?t???]?e?s?F?s?（??0,t?0,f(t)?0） ? 相似性：L[f(at)]?
z?2的正向：
1sF() (a?0 )aa11
1zsindz= ?zc5. 已知F????二.选择题 1.
sin??，则
??ft?sin6t．求拉氏变换（k为f?t?= 4
实数）
?t???y?4y?3y?e5. 求方程满
y0?y?0?1的解.
(A) 0 (B)1 (C)2 足条件 (D)无 四.证明题
1.利用ez的Taylor展式，证明不等式
2.沿正向圆周的积分.
f?z??zRe?z?在何处解析
????sinzdz = z zz?2e?1?e?1?zez?2z?1
(A)2(C)
?isin1?n. (B) 0. 2. 若 F??????f?t?? (a为非零常数)
模拟试卷一答案
?isin1. (D)以上都不对.
n???3．
?4???z?1?n的收敛域为
1?z?1?44.
1???F?? 证明：??f?at???a?a?一.填空题
1. i 2. 0 3.否 4．?1/6
(A) (B)1?.
z?2?e (C) 1?z?1?2.
(D)无法确定 4. 设z=a是
f?z?的m级极点,则
f??z?f?z??0.5,t?1?t?1二.选择题 5. f?t???0,??0.25,t?11. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题
23u?3xy?y?c 1.
在点z=a的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m.
2．函数(D) 以上都不对.
三.计算题 m+n级
3
fz?u?iv1.为解析函数，
f?z?g?z?在z=a处极点为
．
??u?v?x?3xy?3xy?y，求u 2．设函数
3223?1n?1f?z??2??n?z?1?zn?1R?1
f?z?与分别以z=a为m级与n
级极点，那么函数
f?z?g?z?.在z=a处
4． 5.
62s?36
极点如何？
3．求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。
3?3t7?t1?ty?t???e?e?te.
442模拟试卷二
一.填空题
12
1f?z??2,z0??1
z1. C为2.
z?1正向，则?czdz=
4. 沿正向圆周的积分?sinzz?2f?z??my3?nx2y?ix3?lxy2为解析函数，则l, m, n分别为 .
??= ????z??2??2dz
?shz?3.Res?2 ,0??
?z?4. 级数
(A).0. (B).2 (C).2+i.
(D). 以上都不对. 三.计算题
1. 求sin(3+4i).
?n?1??z?2?nn2.收敛半径为
dz,其中
2．计算??z?a??z?b?ca、b
为不在简单闭曲线c上的复常数，a?b.
5. ?-函数的筛选性质是 z?1二.选择题 fz?,z0?1在指定3．求函数
z?1?t1． ，则点z0处的Taylor级数及其收敛半径。
f?t??eu?t?1??????f?t????
4．求拉氏变换四.证明题
1.
f?t??ekt（k为实数）
(A) .
e??s?1?s?1??s?1? (B)
e??s?1?s?1(C)2
es?1?Cn?0?n收敛，而
?C
n?0
?
n
发散，证明
(D) 以上都不对
，则
2．??
?f?t???F???F?????2F???nCz?nn?0?收敛半径为1
??t?2?f?t???
(A)
2.若?
?f?t???F?s?模拟试卷二答案
，(a为正常
.
(B)?F?????2F???.
(C) iF??以上都不对 3．C为
???2F???. (D)
1?s?????F??
数)证明：?fat?a?a?一.填空题
dz2?i. 1.z?3的正向，?310
?2czz?? 2.
(A) .1 (B)2 (C)0
(D) 以上都不对
5.
l?n??3,m?1 3.1 4. 1
???????t?f?t?dt?f?0?-
二.选择题
13
(A)
三.计算题
1． (B) 2．(C) 3． (C) 4.
1.
e?4?3i?e4?3i2i1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数为 .
(A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。
2．当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时
dz?0, ??z?a??z?b?c?当a在c之内, b在c之外时
e2．级数?n?1n3．C
为
?in . (A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定
dz2?i?, ??z?a??z?b?a?bc?当b在c之内, a在c之外时
z?2的正向, 则
dz?2?i?, ??z?a??z?b?a?bc?3
．
ezdz? . ??22cz?z?9?(A) .1 (B)2
1(C)2?i (D) 以上都不对
9f?z??z?1n?z?1?????1???z?1n?02???n?1R?24．?
?
?f?t???F??? (B)
，则
.
?f?1?t??? .
F???e?i?F????e?i?
4．
1s?k(A)
模拟试卷三
(C)
F???ei? (D) 以上都不对
计
算
一.填空题
1． z=0为级零点, 2.
f?z??ze?12z2??三.计算题
1.
?1?2c?dzf?z???,从而证明?d??的 0z?25?4c?z?1
?1?Res?2,0? . 2．求在指定圆环域内的Laurent级数 3?z?z?
3. a,b,c均为复数，问
?a?与abcbc一
定相等吗？ .
4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能3．利用留数计算定积分: 有奇点吗？ 2?d?5.
z?1f?z??2,z?1?1.
zdz?ccosz= . ?02?cos?．
kt二.选择题
14
4．求拉氏变换
f?t??te（k为实数）.