由C?R条件，
?u?v，得???y?x注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.
?u???u?????dy??g??x?，可求出
（九）复数项级数 ?y?x??x?g?x?；
代入（*）式，可求得 虚部
v???udy?g??x 。 ?x1．复数列的极限
1）复数列{?n}?{an?ibn}（n?1,2?）收敛于复数??a?bi的充要条件为
liman?a,n??2）线积分法：若已知实部u?u?x,y?，利用
dv?C?Rlimbn?bn??条件可得 （同时成立）
2）复数列{?n}收敛?实数列{an},{bn}同时收敛。
?v?v?u?udx?dy??dx?dy， ?x?y?y?x?x,y?故虚部为v???x0,y0???u?udx?dy?c； ?y?x2．复数项级数
1）复数项级数??n(?n?an?ibn)收敛的
n?0??由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中?x0,y0?与?x,y? 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部u?u?x,y?，根据解析函数的导数公式和C?R条件得知，
?u?v?u?uf??z???i??i
?x?y?x?y充要条件是级数?an与?bn同时收敛；
n?0n?0?2）级数收敛的必要条件是lim?n?0。
n??注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式?cn(z?z0)n或
n?0?将此式右端表示成z的函数U?z?，由于
?cznn?0?n为幂级数。
f??z?仍为解析函数，故
2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理
f?z???U?z?dz?c （c为实常数）
(Abel)：如果幂级数?cnzn在z0?0处
n?0? 5
收敛，那么对满足z?z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在z0处发散，那么对满足z?z0的一切z，级数必发散。
2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；
径分别为R1与R2，记R?min?R1,R2?， 则当z?R时，有
?(?an?0?n??b)z??az??bz??nnnnnnn?0n?0??
（线性运算）
(?anz)(?bnz)??(anb0?an?1b1???a0bn)znnnn?0n?0n?0??? （乘积运算）
也可能发散。
2）复合性质：设当??r时，
3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
? 比值法 如果lim敛半径R?1cn?1???0，则收cnf?????an?n，当z?R时，??g?z?解
n?0?析且g?z??r，
则当z?R时，f[g?z?]??an[g?z?]n。
n?0?n???；
n??? 根值法 limcn???0，则收敛
半径R?13）分析运算性质：设幂级数?anzn的收
n?0??；
敛半径为R?0，则
n? 其和函数f?z???anz是收敛圆内
n?0?? 如果??0，则R??；说明在整个复
平面上处处收敛；
如果???，则R?0；说明仅在z?z0或z?0点收敛；
注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如?cnz2n）
n?0?的解析函数；
? 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不
?变；且
f??z???nanzn?1
n?0z?R
? 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不
3．幂级数的性质
1）代数性质：设?anz,?bnz的收敛半
nnn?0n?0??变；
?z0f???z?andn?1n?0?n?1 z 6
z?R
（十一）幂函数的泰勒展开
1. 泰勒展开：设函数f?z?在圆域内解析，则在此圆域内f?z?可z?z0?R4
?）
(?1)n2nz2z4(?1)n2ncosz??z?1?????z??(2n)!2!4!(2n)!n?0 z??
3．解析函数展开成泰勒级数的方法
以展
?开成幂
n级数
1）直接法：直接求出cn?f?z???n?0f?n??z0?1?n?f?z0?，于n!n!?z?z0?；并且此展开式
是f?z???cn?z?z0?。
n?0?n是唯一的。
注：若f?z?在z0解析，则f?z?在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径
导、逐项求积等方法将函数展开。
； R?z0?a其中R为从z0到f?z?的距z0最近一个奇点a之间的距离。 2．常用函数在z0?0的泰勒展开式 1
z?2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求
（十二）幂函数的洛朗展开
1. 洛朗级数的概念：?cn?z?z0?，含
n????n正幂项和负幂项。 ）
2．洛朗展开定理：设函数f?z?在圆环域
R?z?z0?R2内处处解析，c为圆1nz2z3zne??z?1?z??????? 12!3!n!n?0n!环域内绕z0的任意一条正向简单
z??
闭曲线，则在此在圆环域内，有
?12）??zn?1?z?z2???zn?? ?n1?zn?0 ，且展开式f?z???cn?z?z?0n???z?1
唯一。
3
）
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一
sinz??(?1)2n?1zz(?1)z?z?????z2n?1??般只能用间接法展开。 3!5!(2n?1)!n?0(2n?1)!*4．利用洛朗级数求围线积分：设f?z?在
7
?n35n z??
r?z?z0?R内解析，c为r?z?z0?R内的任何一条正向简单闭曲线，则
负幂项；
f?z????c?mc?1????c0?c1(z?z0)???m(z?z0)(z?z0)??f?z?dz?2?icc?1。其中c?1为f(z)在
1的系z?z0r?z?z0?R内洛朗展开式中数。
（十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：limf?z??c0常数；
z?z0说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇点的定义 ：f?z?在z0点不解析,但在z0的0?z?z0??内解析。 2。孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含z?z0的负幂项；f?z??c0?c1?z?z0??c2?z?z0??? 2）极点：展开式中含有限项z?z0的负幂项；
22．极点：limf?z???
z?z03．本性奇点：limf?z?不存在且不为?。
z?z04．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数
f?z?，如果能表示成
f?z??(z?z0)m??z?，
其中??z?在z0解析，??z0??0,m为正整数，称z0为f?z?的m级零点； 2）零点级数判别的充要条件
z0是
f?z?的m级零点
?n??f2?0?z?0,2?(n?1?,mc?(m?1)c?mc?1? f?z???????c?c(z?z)?c(z?z)???01??m?020(z?z0)m(z?z0)m?1(z?z0)fz?0???0?,1)?g?z?,
(z?z0)m中
m?13）零点与极点的关系：z0是f?z?的m级零点?z0是
其
1的m级极点； f?z?)g?z??c?m?c?(m?(z?z???c?z?z在z0解析，
且g?z0??0,m?1,c?m?0；
?c4）重要结论z?zm )1??若z?a分别是??z?与??z?的m级与
n级零点，则
? z?a是??z????z?的m?n级零点；
8
3）本性奇点：展开式中含无穷多项z?z0的
? 当m?n时，z?a是
零点；
??z?的m?n级??z?数。
1）可去奇点处的留数：若z0是f?z?的可去奇点，则Res[f?z?,z0]?0 2）m级极点处的留数
法则I 若z0是f?z?的m级极点，则
当m?n时，z?a是极点；
??z?的n?m级??z?当m?n时，z?a是点；
??z?的可去奇??z?
Res[f?z?,z0]?1dm?1limm?1[(z?z0)mf?z?]
(m?1)!z?z0dz 特别地，若z0是f?z?的一级极点，则
? 当m?n时，z?a是??z????z?的l级
零点，l?min(m,n)
当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，其中l?m(n) （十五）留数的概念
1．留数的定义：设z0为f?z?的孤立奇点，f?z?在z0的去心邻域0?z?z0??内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称积分
1?cf?z?dz为f?z?2?i?Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。 法则II 设f?z??P?z?，P?z?,Q?z?在Q?z?z0解析，P?z0??0,
Q?z0??0,Q??z0??0，则
RseP??z?]P0?z [z0?,?Q?z?Q?z0?在z0的留数（或残留），记作
（十六）留数基本定理
Res[f?z?,z0]?1f?z?dz ??c2?i设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
2．留数的计算方法
若z0是f?z?的孤立奇点，则
Res[f?z?,z0]?c?1，其中c?1为f?z?在z0的去心邻域内洛朗展开式中(z?z0)?1的系
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??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,z]
cnn?1?