（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f?x??x?1.
（1）求不等式f?x??2x?1?1的解集M； （2）设a,b?M，证明：f?ab??f?a??f??b?．
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惠州市2018届高三模拟考试 数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 B 10 B 11 D 12 A 1.【解析】因为A?xx??1或x?0，B?xx?1，所以A????B??xx?1?
2.【解析】大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为3?1，面积为4?23
故飞镖落在阴影区域的概率为4?233． ?1?42a2?b2??a?bi??a2?b2?a?bi?3?4i
3.【解析】设z?a?bi，则z?z?
所以b?4
4. 【解析】因为cosi??0,?1,0,1,...,?i?1,2,3,..?，2018?504?4?2， 2所以s?504??0?1?0?1???0?1???1
5.
【
解
析
】
因
为
AM?AB?BM?21AB?AC33，所以
1?2?AM?BC??AB?AC??AC?AB
3?3?22211211?4??AB?AC?AB?AC???22??32??2?3?cos?。
33333333116.【解析】如图S?ACD?S?ABD??25?4?45，S?BCD??4?4?8，
221S?ABC??4?42?82。
2??7.【解析】因为a?b?2ab?2，所以是充分条件；若
a?3,b?1133?2，ab??1，故是不必要条件。 ，则a?b?4442228.【解析】由BC?BA?2c，则CA?BC?BA?2BC?BA?cos?B?12c2，
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2a?CA?CB?23c?2c，所以
9.【解析】由题意得
c13?1。 ??a23?12sinCcosB?2sinA?sinB?2sinCcosB?2?sinBcosC?cosBsinC??sinB1133?cosC??，?S?absinC?ab?c?c?3ab
22412a2?b2?c21a2?b2?9a2b22ab?9a2b21?cosC??????ab?
2ab22ab2ab313当且仅当a?b?时，等号成立，即ab的最小值为。
3310.【解析】设每天安排电脑机和普通机各x，y台，则一天可获利
?x?y?10?2x?y?15?z?12?8x?10?6y?96x?60y，线性约束条件为?，画出可行域（如
?12x?10y?100??0?x?7,0?y?5图），
可知当目标函数经过A?5,5?时，zmax?780.
11.【解析】因为f?x?在?0,
T?2????
?T??????0???2，单调，所以，即?22??2?
而0????????T；若T??，则??2；若T??，则x???2是f?x?的一条对称
轴，?T????3????，所以,0?是其相邻的对称中心，所以??????44?24?4??2?2?. T3T?3????2x?x2?112.【解析】当x?0时f??x??，由此可知f?x?在1?2,??上单调递减，xe??在0,1?2上单调递增，fmax?x??f1?2?21?2e???????1?2?1，f?1??0，且
x???时f?x??0，又f?x?在R上为奇函数，所以f?0??0，而x??1,???时
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f?x??0，所以f?x?大致图象如图所示：
令t?f?x?，则t???1,1方程f?x??t至多有3个根，当t???1,1?时，方程f?x??t?时，
没有根，而对任意m?R，t???1,1?，方程f?t??m至多有一个根，从而函数
f?f?x???m?0的根的个数至多有3个。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 13.??1,??? 14.丁 15. 1 16.21? 13.【解析】因为奇函数
f?x??2x?2?x在R上增函数，所以
f?2x?1??f?1??0?f?2x?1??f??1?
?2x?1??1?x??1，?x???1,???（注：写成不等式形式不给分。）.
14.【解析】假设甲猜对，即D或E偷的，则乙也猜对，相互矛盾；假设乙猜对，即C没偷，又丙猜错，则是D或E偷的，此时甲也猜对，相互矛盾；假设丙猜对，即A、B、F当中必有一人偷，此时乙也猜对；假设丁猜对，即D、E、F都不可能偷，甲、乙、丙均猜错，符合题意，故猜对的是丁。
11?1???15.【解析】展开式中的常数项是的展开式中项的系数与axax?12x?2x???????xx?x???551??的系数之积，再加上其常数项与1的积；又?2x??展开式的通项公式为：
x??Tr?1?C5??2x?r355?rr?1????????1??25?r?C5r?x5?2r，令5?2r??1，解得r?3， ?x?r?T3?1???1??22?C53?115??40?，令5?2r?0解得r?（不合题意，舍去）， xx2数学试题（理科） 第 9 页，共 20 页
1??所以?ax?1??2x??展开式中的常数项为?40a??40，解得a?1。
x??22216.【解析】由题意得SA?AB?SB，得到SA?AB，取AB中点为D，
5SB中点为M，得到?CDM为二面角S?AB?C的平面角， 由题意可知?CDM?120?，设三角形ABC的外心为O'， 则CO'?3?BO',DO'?3?MD，球心为过点M的面ABS的垂线与过点 23，所以2O’的面ABC的垂线的交点，在四边形MDO?O中，可求出OO'?R2?OO'2?O'B2?21， 42所以球的表面积4?R?21?。
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.【解析】由an2?2nan??2n?1??0得?所以an?2n?1或?an??2n?1?????an?1??0，
an??1...2分
又因为数列?an?的各项均为正数，所以an?2n?1,n?N?。
因
为
bn???1?n?1n?1an???1?n?n?1??2n?1?，所以
Tn?3???5????????7?? ................4分 1? 9n?121法一： 由Tn?3?5?7?9???????1? ??1?Tn???2n?1? ①
?3?5?7??9???????1??n?1n?2??1??1n?2? ???n1② ...............6分 ①-②得：
2Tn?3?21?1??????1??n?1??1???1?n?1?n???1n?2n?1 ???1???2n?1??3?2?????1???1?数学试题（理科） 第 10 页，共 20 页